Question

【題目】思維啟迪：（1）如圖1，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小亮想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，聰明的小亮想出一個(gè)辦法：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接BC，取BC的中點(diǎn)P（點(diǎn)P可以直接到達(dá)A點(diǎn)），利用工具過點(diǎn)C作CD∥AB交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得CD＝200米，那么A，B間的距離是　 　米．

思維探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，把點(diǎn)E在AC邊上時(shí)△ADE的位置作為起始位置（此時(shí)點(diǎn)B和點(diǎn)D位于AC的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，連接BD，點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，連接PC，PE．

①如圖2，當(dāng)△ADE在起始位置時(shí)，猜想：PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是　 　；

②如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)D落在AB邊上，請(qǐng)判斷PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

③當(dāng)α＝150°時(shí)，若BC＝3，DE＝l，請(qǐng)直接寫出PC2的值．

Answer 1

【答案】（1）200；（2）①PC＝PE，PC⊥PE；②PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC＝PE，PC⊥PE，見解析；③PC2＝.

【解析】

（1）由CD∥AB，可得∠C＝∠B，根據(jù)∠APB＝∠DPC即可證明△ABP≌△DCP，即可得AB＝CD，即可解題．

（2）①延長(zhǎng)EP交BC于F，易證△FBP≌△EDP（SAS）可得△EFC是等腰直角三角形，即可證明PC＝PE，PC⊥PE．

②作BF∥DE，交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CE、CF，易證△FBP≌△EDP（SAS），結(jié)合已知得BF＝DE＝AE，再證明△FBC≌△EAC（SAS），可得△EFC是等腰直角三角形，即可證明PC＝PE，PC⊥PE．

③作BF∥DE，交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CE、CF，過E點(diǎn)作EH⊥AC交CA延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，∠CAE＝150°，DE與BC所成夾角的銳角為30°，得∠FBC＝∠EAC，同②可證可得PC＝PE，PC⊥PE，再由已知解三角形得∴EC2＝CH2+HE2＝，即可求出

（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，

在△ABP和△DCP中，

，

∴△ABP≌△DCP（SAS），

∴DC＝AB．

∵AB＝200米．

∴CD＝200米，

故答案為：200．

（2）①PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC＝PE，PC⊥PE．

理由如下：如解圖1，延長(zhǎng)EP交BC于F，

同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（SAS），

∴PF＝PE，BF＝DE，

又∵AC＝BC，AE＝DE，

∴FC＝EC，

又∵∠ACB＝90°，

∴△EFC是等腰直角三角形，

∵EP＝FP，

∴PC＝PE，PC⊥PE．

②PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC＝PE，PC⊥PE．

理由如下：如解圖2，作BF∥DE，交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CE、CF，

同①理，可知△FBP≌△EDP（SAS），

∴BF＝DE，PE＝PF＝，

∵DE＝AE，

∴BF＝AE，

∵當(dāng)α＝90°時(shí)，∠EAC＝90°，

∴ED∥AC，EA∥BC

∵FB∥AC，∠FBC＝90，

∴∠CBF＝∠CAE，

在△FBC和△EAC中，

，

∴△FBC≌△EAC（SAS），

∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，

∵∠ACB＝90°，

∴∠FCE＝90°，

∴△FCE是等腰直角三角形，

∵EP＝FP，

∴CP⊥EP，CP＝EP＝．

③如解圖3，作BF∥DE，交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CE、CF，過E點(diǎn)作EH⊥AC交CA延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，

當(dāng)α＝150°時(shí)，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，∠CAE＝150°，DE與BC所成夾角的銳角為30°，

∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150°

同②可得△FBP≌△EDP（SAS），

同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝，

在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，

∴HE＝，AH＝，

又∵AC＝AB＝3，

∴CH＝3+，

∴EC2＝CH2+HE2＝

∴PC2＝