Question

如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC=3AB，A，B兩點的坐標(biāo)分別是（-1，0），（0，2），C，D兩點在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＜0）的圖象上，則k的值等于

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：設(shè)點C坐標(biāo)為（a，

k

a

），根據(jù)AC與BD的中點坐標(biāo)相同，可得出點D的坐標(biāo)，將點D的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可得出k關(guān)于a的表達式，再由BC=3AB=3

5

，可求出a的值，繼而得出k的值．

解答：解：設(shè)點C坐標(biāo)為（a，

k

a

），（a＜0），點D的坐標(biāo)為（x，y）．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC與BD的中點坐標(biāo)相同，
∴（a-1，

k

a

+0）=（x+0，y+2），
則x=a-1，y=

k-2a

a

，
代入y=

k

x

，可得：k=2a-2a² ①；
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

5

，
∴BC=3AB=3

5

，
故BC²=（0-a）²+（

k

a

-2）²=（3

5

）²，
整理得：a⁴+k²-4ka=41a²，
將①k=2a-2a²，代入后化簡可得：a²=9，
∵a＜0，
∴a=-3，
∴k=-6-18=-24．
故答案為：-24．
方法二：
因為ABCD是平行四邊形，所以點C、D是點A、B分別向左平移a，向上平移b得到的．
故設(shè)點C坐標(biāo)是（-a，2+b），點D坐標(biāo)是（-1-a，b），（a＞0，b＞0）
根據(jù)K的幾何意義，|-a|×|2+b|=|-1-a|×|b|，
整理得2a+ab=b+ab，
解得b=2a．
過點D作x軸垂線，交x軸于H點，在直角三角形ADH中，
由已知易得AD=3

5

，AH=a，DH=b=2a．
AD²=AH²+DH²，即45=a²+4a²，
得a=3．
所以D坐標(biāo)是（-4，6）
所以|K|=24，由函數(shù)圖象在第二象限，
所以k=-24．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了平行四邊形的性質(zhì)、中點的坐標(biāo)及解方程的知識，解答本題有兩個點需要注意：①設(shè)出點C坐標(biāo)，表示出點D坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式；②根據(jù)BC=3AB=3

5

，得出方程，難度較大，注意仔細運算．