Question

如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF．

Answer 1

證明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；

（2）如圖，根據(jù)（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（對頂角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
所以EC⊥BF．
分析：（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△AEC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠AEC=∠ABF，設AB、CE相交于點D，根據(jù)∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根據(jù)三角形內角和定理推出∠BMD=90°，從而得證．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，根據(jù)條件找出兩組對應邊的夾角∠EAC=∠BAF是證明的關鍵，也是解答本題的難點．