Question

如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M(－2，－1)，且P(－1，－2)是雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．

圖1

(1)寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△OBQ與△OAP面積相等?如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值．

圖2

Answer 1

(1)設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，將點(diǎn)M(－2，－1)坐標(biāo)代入得，所以正比例函數(shù)解析式為，同樣可得，反比例函數(shù)解析式為；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，于是S_△OBQ＝

｜OB·BQ｜＝·m·m＝m²而S_OAP＝｜(－1)(－2)｜＝1，所以有，，

解得m＝±2所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q₁(2，1)和Q₂(－2，－1)；

(3)因?yàn)樗倪呅?i>OPCQ是平行四邊形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而點(diǎn)P(－1，－2)是定點(diǎn)，所以OP的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，所以要求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值．

因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)Q(n，)，

由勾股定理可得OQ²＝n²＋＝(n－)²＋4，

所以當(dāng)(n－)²＝0即n－＝0時(shí)，OQ²有最小值4，

又因?yàn)?i>OQ為正值，所以OQ與OQ₂同時(shí)取得最小值，

所以OQ有最小值2．由勾股定理得OP＝，所以平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值是2(OP＋OQ)＝2(＋2)＝2＋4．