Question

如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE、BN于點F、C，過頂C作品AM的垂線CD，垂足為D．若CD=CF，求

AE

AD

的值．

Answer 1

分析：由題中條件可得Rt△AFB∽Rt△ABC，設(shè)CF=m，AF=n，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得m、n之間的關(guān)系，再由Rt△AFE∽Rt△CFB，即可得出AE與AD的關(guān)系．

解答：解：如圖，設(shè)CF=m，AF=n，
∵AB⊥BC，BF⊥AC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠CBF=∠BAF，又∠ABC=∠BFC=90°，
∴Rt△AFB∽Rt△ABC，
∴AB2=AF?AC，又FC=CD=AB=m，
∴m²=n（n+m），
即(

n

m

)2+

n

m

-1=0，
∴

n

m

=

5 -1

2

或

n

m

=

- 5 -1

2

（舍去），
又Rt△AFE∽Rt△CFB，

AE

AD

=

AE

BC

=

AF

FC

=

n

m

=

5 -1

2

，
即

AE

AD

=

5 -1

2

．
故答案為：

5 -1

2

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠利用其性質(zhì)求解一些簡單的計算問題．