Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)E在劣弧

BC

上，連接AE交BC于點(diǎn)D，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的圓弧交AE于點(diǎn)I．已知BE²=AE•DE，BI平分∠ABC．
（1）求證：BE=EI；
（2）若⊙O的半徑為5，BC=8，∠BDE=45°．
①求

BC

的半徑和AD的長(zhǎng)；②求sin∠ABC和tan∠ABI的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,三角形的外角性質(zhì),角平分線(xiàn)的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理,銳角三角函數(shù)的定義

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）由BE²=AE•DE可證到△ABE∽△BDE，從而有∠BAE=∠EBC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可證到∠BIE=∠EBI，就可得到EB=EI．
（2）①連接EC、OB、OC、OE，設(shè)OE交BC于F，如圖2，易證過(guò)點(diǎn)I的

BC

的半徑為BE，根據(jù)勾股定理可以求出BE、DE的長(zhǎng)，再根據(jù)BE²=AE•DE就可求出AD的長(zhǎng)．②作AG⊥BC于G．如圖3，先求出AG、AB，再運(yùn)用三角函數(shù)的定義就可求出sin∠ABC的值；過(guò)點(diǎn)I作IK⊥AB于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)I作IH⊥BC于點(diǎn)H，如圖4，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得IK=IH，然后運(yùn)用面積法就可求出IH的長(zhǎng)，從而可以求出BH的長(zhǎng)，然后將tan∠ABI轉(zhuǎn)化為tan∠CBI就可解決問(wèn)題．

解答：（1）證明：如圖1，
∵BE²=AE•DE，
∴

AE

BE

=

BE

DE

．
又∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△BDE．
∴∠BAE=∠EBC．
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠DBI．    
∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠EBI=∠EBC+∠DBI，
∴∠BIE=∠EBI．
∴EB=EI．
    
（2）解：①連接EC、OB、OC、OE，設(shè)OE交BC于F，如圖2，
∵∠BAE=∠EBC，∠EBC=∠EAC，
∴∠BAE=∠EAC，
∵∠BOE=2∠BAE，∠COE=2∠CAE，
∴∠BOE=∠COE．
∴

BE

=

CE

．
∴EB=EC．
∴EB=EC=EI．
∴點(diǎn)E是過(guò)點(diǎn)I的

BC

的圓心，EB是過(guò)點(diǎn)I的

BC

的半徑．
∵OB=OC，∠BOE=∠COE，
∴BF=CF=

1

2

BC=4．
在Rt△OFC中，
∵OC=5，F(xiàn)C=4，
∴OF=3．
∴EF=OE-OF=5-3=2．
∴BE=

BF2+EF2

=2

5

．
∵∠BDE=45°，∠DFE=90°，
∴∠DEF=90°-45°=45°=∠FDE．
∴DF=EF=2．
∴BD=BF+DF=4+2=6，DE=2

2

．
∵AE•DE=BE²，
∴（AD+2

2

）×2

2

=（2

5

）²．
∴AD=3

2

．
∴過(guò)點(diǎn)I的

BC

的半徑為2

5

，AD的長(zhǎng)為3

2

．
②作AG⊥BC于G．如圖3，
∵∠BDE=45°，
∴∠ADG=45°．
∴∠DAG=90°-45°=45°=∠ADG．
∴AG=DG=

2

2

AD=

2

2

×3

2

=3．
∵BD=6，
∴BG=BD+DG=9．
∴AB=

BG2+AG2

=3

10

．
∴sin∠ABC=

AG

AB

=

3

3 10

=

10

10

．
過(guò)點(diǎn)I作IK⊥AB于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)I作IH⊥BC于點(diǎn)H，如圖4，
∵BI平分∠ABC，IK⊥AB，IH⊥BC，
∴IK=IH．
∵S_△ABD=S_△ABI+S_△BDI，
∴

1

2

BD•AG=

1

2

AB•IK+

1

2

BD•IH．
∵BD=6，AG=3，AB=3

10

，IK=IH，
∴IH=

10

-2．
∵∠IDH=∠BDE=45°，∠IHD=90°，
∴∠DIH=90°-45°=45°=∠IDH．
∴DH=IH=

10

-2．
∴BH=BD+DH=6+

10

-2=

10

+4．
∴tan∠ABI=tan∠CBI=

IH

BH

=

10 -2

10 +4

=

10

-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧與圓心角及弦的關(guān)系、圓周角定理、三角函數(shù)的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性，而運(yùn)用面積法求出IH的長(zhǎng)及將tan∠ABI轉(zhuǎn)化為tan∠CBI是求tan∠ABI值的關(guān)鍵．