Question

如圖，正方形ABCD中，M為AD邊上的一點(diǎn)，連接BM，過點(diǎn)C作CN∥BM，交AD的延長線于點(diǎn)N，在CN上截取CE=BC，連接BE交CD于F，
（1）若∠AMB=60°，CE=2

3

，求DF的長度；
（2）求證：BM=DN+CF．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由正方形的性質(zhì)可以得出AD∥BC，再由CN∥BM就可以得出四邊形BCNM是平行四邊形，就可以得出∠MBC=60°，就有∠BCN=120°，由BC=EC就可以得出∠FBC=30°，勾股定理就可以求出CF的值，從而可以得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)C作CG⊥BE交AD于點(diǎn)H，可以得出△BCF≌△CDH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)就可以得出∠CHN=∠ECG，由四邊形MBCN為平行四邊形就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．
∵CN∥BM，
∴四邊形BCNM是平行四邊形，
∴BM=CN，∠AMB=∠MBC．
∵∠AMB=60°，
∴∠MBC=60°，
∴∠BCN=120°．
∵BC=CE，
∴∠1=∠2=30°，
∴BF=2CF．
在Rt△BCF中，BC=2

3

，由勾股定理，得
CF=2．
∵CD=2

3

，
∴DF=2

3

-2．
答：DF=2

3

-2；

（2）過點(diǎn)C作CG⊥BE交AD于點(diǎn)H，
∴∠BGC=∠FGC=90°．
∴∠1=∠4．
在△BCF和△CDH中

∠1=∠4 BC=CD ∠BCD=∠CDH

，
∴△BCF≌△CDH（ASA），
∴CF=HD．
∵∠CHN=90°-∠4，∠ECG=90°-∠2=90°-∠1=90°-∠4
∴∠CHN=∠ECG，
∴CN=HN
∵四邊形MBCN為平行四邊形，
∴BM=CN，
∴BM=CN=HN=DN+HD=DN+CF．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．