Question

【題目】已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內作半圓，P是半圓上的動點（不與點A、B重合），連接PA、PB、PC、PD．
（1）如圖①，當PA的長度等于時，∠PAD=60°；當PA的長度等于時，△PAD是等腰三角形；
（2）如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系（點A即為原點O），把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S1、S2、S3 ． 設P點坐標為（a，b），試求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此時a、b的值．

Answer 1

【答案】
（1）2 ；2 或
（2）解：過點P分別作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)延長FP交BC于點G，

則PG⊥BC，

∵P點坐標為（a，b），

∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，

在△PAD，△PAB及△PBC中，

S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，

∵AB為直徑，

∴∠APB=90°，

∴PE2=AEBE，

即b2=a（4﹣a），

∴2S1S3﹣S22=4a（8﹣2a）﹣4b2=﹣4a2+16a=﹣4（a﹣2）2+16，

∴當a=2時，b=2，2S1S3﹣S22有最大值16

【解析】解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°， ∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
則在Rt△PAB中，PA=cos30°AB=2 ，
∴當PA的長度等于2 時，∠PAD=60°；
若△PAD是等腰三角形，當PA=PD時，
此時P位于四邊形ABCD的中心，
過點P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
則四邊形EAMP是正方形，
∴PM=PE= AB=2，
∵PM2=AMBM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2 ，
當PD=DA時，以點D為圓心，DA為半徑作圓與弧AB的交點為點P．
連PD，令AB中點為O，再連DO，PO，DO交AP于點G，
則△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，∠ADG=∠GAO，
∴ = = ，
∴AG=2OG，
設AG為2x，OG為x，
∴（2x）2+x2=4，
∴x=
∴AG=2x= ，
∴AP=
∴當PA的長度等于2 或 時，△PAD是等腰三角形；


【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的最值和正方形的性質，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．