Question

4、滿足方程x³+6x²+5x=27y³+9y²+9y+1的正整數(shù)對(duì)（x，y）有（　　）

A、0對(duì)

B、1對(duì)

C、3對(duì)

D、無(wú)數(shù)對(duì)

Answer 1

分析：觀察方程x³+6x²+5x=27y³+9y²+9y+1可發(fā)現(xiàn)27y³+9y²+9y+1=3（9y³+3y²+3y）+1，假設(shè)3（9y³+3y²+3y）+1=3k+1，則可知3（9y³+3y²+3y）+1為奇數(shù)．分別分x=3n+1，x=3n+2，討論x（x+5）（x+1）的結(jié)果是不是等于奇數(shù)．進(jìn)而求出滿足條件的正整數(shù)對(duì)（x，y）．

解答：解：x（x+5）（x+1）=3（9y³+3y²+3y）+1=3k+1，
首先，x（x+5）（x+1）必須不是3的倍數(shù)，
令x=3n+1，則x+5=3n+6為3的倍數(shù)，
令x=3n+2，則x+1=3n+3為3的倍數(shù)，
所以，滿足此方程的x必須既不是3的倍數(shù)，不能等于3n+1，也不能等于3n+2．
故此題無(wú)正整數(shù)解．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查因式分解．做好本題的關(guān)鍵是對(duì)“=”兩邊的式子進(jìn)行因式分解，并假設(shè)等式成立，就x取值，討論27y³+9y²+9y+1的存在性．