Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在雙曲線y=

3

x

上，過A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，AC⊥x軸于點(diǎn)C，將矩形OBAC沿對角線OA折疊后得C的對應(yīng)點(diǎn)為D，交AB邊于點(diǎn)E，如果A點(diǎn)的坐標(biāo)是（m，1）．
（1）補(bǔ)全圖形，并求點(diǎn)E坐標(biāo)；
（2）判斷點(diǎn)D是否落在已知的雙曲線上，并說明理由；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使以O(shè)、C、M、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)得出A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理求出E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)各邊長得出∠AOD=30°，即可得出∠DOF=60°，利用OF=DO•cos60°，DF=DO•sin60°，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出；
（3）根據(jù)（2）所求以及菱形的性質(zhì)分別根據(jù)OC為對角線和一邊時求出M點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）如圖1所示：
把y=1代入，x=

3

，
∴A（

3

，1）
設(shè)BE=x，則 AE=

3

-x，
∵∠EAB=∠AOC，∠AOC=∠AOD，
∴∠EAO=∠AOE，
∴OE=

3

-x，
在Rt△BOE中
則x²+1=（

3

-x）²，
解得：x=

3

3

∴E（

3

3

，1）；

（2）如圖2：過點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，DF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵AC=1，CO=

3

，
∴tan∠AOC=

1

3

=

3

3

，
∴∠AOC=30°，
∴∠AOD=30°，
∴∠DOF=60°，OF=DO•cos60°=

3

2

，DF=DO•sin60°=

3

2

，
∴D（

3

2

，

3

2

），
∵

3

2

×

3

2

=

3 3

4

≠

3

，
∴點(diǎn)D不在雙曲線上；

（3）如圖2，
存在，
當(dāng)M點(diǎn)在第一象限，CO為菱形的一邊，且OC

∥

.

DM₁時，
∵CO=

3

，∴DM₁=

3

，
∵M(jìn)D=

3

2

，
∴M₁M=

3

2

3

，
∴M₁的坐標(biāo)為：（

3

2

3

，

3

2

），
當(dāng)M點(diǎn)在第四象限，OC為對角線時，
菱形DOM₂C關(guān)于x軸對稱，
∴D點(diǎn)與M₂點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，
∴M₂的坐標(biāo)為：（

3

2

，

3

2

），
當(dāng)M點(diǎn)在第二象限，CO為菱形的一邊，且OC

∥

.

DM₃時，
∵CO=

3

，
∴DM₃=

3

，
∵M(jìn)D=

3

2

，
∴M₃D=

3

2

，
∴M₃的坐標(biāo)為：（-

3

2

，

3

2

），
綜上所述：存在點(diǎn)M，使以O(shè)、C、M、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，M點(diǎn)的坐標(biāo)為：
M₁（

3

2

3

，

3

2

），M₂（

3

2

，-

3

2

），M₃（-

3

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及翻折變換的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系以及勾股定理等知識，根據(jù)翻折變換的知識得出D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．