Question

如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度6米，底部寬度OM為12米，現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）求這條拋物線的解析式（不必寫(xiě)x的取值范圍）；
（2）若要搭建一個(gè)矩形支架AD-DC-CB（由三段組成）使C、D在拋物線上，A、B在地面OM上，則這個(gè)支架總長(zhǎng)L的最大值是多少米？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)所建坐標(biāo)系求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，再設(shè)解析式為頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)O的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)即可求出解析式；
（2）總長(zhǎng)由三部分組成，根據(jù)它們之間的關(guān)系可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），用含m的式子表示三段的長(zhǎng)，再求其和的表達(dá)式，然后運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答：解：（1）∵某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度6米，
∴頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6，
又∵底部寬度OM為12米，
∴頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)也為6，
∴P（6，6）．
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-6）²+6．
∵拋物線y=a（x-6）²+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），
∴0=a（0-6）²+6，解得a=-

1

6

．
∴拋物線解析式為：y=-

1

6

（x-6）²+6，即y=-

1

6

x²+2x；

（2）設(shè)A（m，0），則B（12-m，0），C（12-m，-

1

6

m²+2m），D（m，-

1

6

m²+2m）．
則“支撐架”總長(zhǎng)：AD+DC+CB=（-

1

6

m²+2m）+（12-2m）+（-

1

6

m²+2m）
=-

1

3

m²+2m+12
=-

1

3

（m-3）²+15．
∵此二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下．
∴當(dāng)m=3米時(shí)，AD+DC+CB有最大值為15米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度在第（2）問(wèn)，要分別求出三部分的表達(dá)式再求其和．關(guān)鍵在于根據(jù)圖形特點(diǎn)選取一個(gè)合適的參數(shù)表示它們，得出關(guān)系式后運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)來(lái)解．