Question

【題目】心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化，講課開始時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力y隨時(shí)間t（分鐘）的變化規(guī)律有如下關(guān)系式： （y值越大表示接受能力越強(qiáng)）

（1）講課開始后第5分鐘時(shí)與講課開始后第25分鐘時(shí)比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中；

（2）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中能持續(xù)多少分鐘；

（3）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力最低達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？

Answer 1

【答案】（1）講課開始后第25分鐘時(shí)學(xué)生的注意力比講課開始后第5分鐘時(shí)更集中；（2）講課開始后10分鐘時(shí)，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘；（3）老師可以經(jīng)過適當(dāng)安排，能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目．

【解析】試題分析：

（1）把t=5和t=25分別代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式求出y的值，并比較大小即可得出結(jié)論；

（2）由自變量的取值范圍分別求出第一段函數(shù)和第三段函數(shù)中函數(shù)值取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量取值結(jié)合兩段函數(shù)的增減性及第二段函數(shù)的函數(shù)值為固定的240分析即可得到本題答案；

（3）分別在第一段函數(shù)和第三段函數(shù)中，由y=180解得對(duì)應(yīng)的x的值，即可求得注意力y不低于180的持續(xù)時(shí)間是多長(zhǎng)，由此即可得到本題答案.

試題解析：

（1）當(dāng)t=5時(shí)，y=195，當(dāng)t=25時(shí)，y=205

∴講課開始后第25分鐘時(shí)學(xué)生的注意力比講課開始后第5分鐘時(shí)更集中．

（2）①當(dāng)0＜t≤10時(shí)，y=﹣t2+24t+100=﹣（t﹣12）2+244，

該段函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線t=12，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)t=10時(shí)，y有最大值240；

②當(dāng)10＜t≤20時(shí)，y=240；

③當(dāng)20＜t≤40時(shí)，y=﹣7t+380，y隨t的增大而減小，

故此時(shí)y＜240；

∴綜上所述，當(dāng)t=10時(shí)，y有最大值240，持續(xù)時(shí)間為：20-10=10（分鐘），

即：講課開始后10分鐘時(shí)，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘．

（3）當(dāng)0＜t≤10，令y=﹣t2+24t+100=180，解得t1=4，t2=20（不在取值范圍內(nèi)，舍去），

當(dāng)20＜t≤40時(shí)，令y=﹣7t+380=180，解得t=28.57

∵28.57﹣4＞24，

∴老師可以經(jīng)過適當(dāng)安排，能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目.