Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC．點M為直角梯形ABCD內一點，滿足∠AMD=135°，將△ADM繞點A順時針旋轉得到對應的△ABN（AD與AB重合），連接MN．
（1）判斷線段MN和BN的位置關系，并說明理由；
（2）若AM=1，MD=3

2

，求MB的長及點B到直線AN的距離；
（3）在（2）的情況下，若BC=8，求四邊形MBCD的面積．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)旋轉的性質求出AM=AN，以及∠BAD=90°=∠NAM，進而得出∠BNM=∠ANB-∠ANM=90°，即可得出答案；
（2）過點B作BE⊥AN，交AN的延長線于點E，首先求出MN，BM的長，進而得出點B到直線AN的距離；
（3）首先得出S_梯形ABCD=

1

2

×（5+8）×5=

65

2

，進而得出S_△ABM+S_△ADM=S_△ABM+S_△ABN=S_{四邊形ANBM}=S_△AMN+S_△BMN，即可得出四邊形MBCD的面積．

解答：解：（1）MN⊥BN．
理由如下：
∵△ABN是由△ADM繞點A順時針旋轉得到的，且AD與AB重合，
∴∠NAM=∠BAD，∠AMD=∠ANB，AM=AN，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠BAD=90°=∠NAM，
∴∠AMN=∠ANM=45°，
∵∠AMD=135°，
∴∠ANB=135°，
∴∠BNM=∠ANB-∠ANM=90°，
  即MN⊥BN；

（2）過點B作BE⊥AN，交AN的延長線于點E．
由題及（1）知：∠NAM=90°，
AN=AM=1，BN=DM=3

2

，
∴MN=

12+12

=

2

，
∴BM=

2+18

=2

5

，
∵∠ANB=135°，
∴∠ENB=45°，
∴BE=NE=

2

2

BN=3，
即點B到直線AN的距離為3；
    
（3）由（2）知：AE=4，BE=3，
∴AB=

32+42

=5，
∵AD與AB重合，
∴AD=5，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×（5+8）×5=

65

2

，
∵△ABN是由△ADM繞點A順時針旋轉得到的，
∴S_△ABN=S_△ADM，
∴S_△ABM+S_△ADM=S_△ABM+S_△ABN=S_{四邊形ANBM}=S_△AMN+S_△BMN，
=

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×2

2

=

7

2

，
∴S_{四邊形MBCD}=S_梯形ABCD-（S_△ABM+S_△ADM）=

65

2

-

7

2

=29．

點評：此題主要考查了旋轉的性質以及三角形面積求法以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關系等知識，正確作出輔助線BE=NE是解題關鍵．