Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，，CA=CD，E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，設(shè)DE=x，CF=y．
（1）求AC和AD的長(zhǎng)；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD∥BC，可得∠ACB的正切值，在直角三角形ACB中可求得到AC，在等腰三角形ACD中利用勾股定理可得底邊的一半，從而求得AD的長(zhǎng)度；
（2）利用兩角對(duì)應(yīng)相等求得三角形AEF與三角形DCE相似，利用其性質(zhì)可求得x與y的關(guān)系；
（3）對(duì)于等腰三角形要分別分三種情況進(jìn)行逐一進(jìn)行分析，分別求出x的值．
解答：解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠ACB=∠CAD．
∴tan∠ACB=tan∠CAD=．
∴．
∵AB=8，
∴BC=6．
則AC=10．
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，
∴CH=AB=8，則AH=6．
∵CA=CD，
∴AD=2AH=12．

（2）∵CA=CD，
∴∠CAD=∠D．
∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD，
∴∠FEC=∠D．
∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D，
∴∠1=∠2．
∴△AEF∽△DCE．
∴，
即．
∴．

（3）若△EFC為等腰三角形．
①當(dāng)EC=EF時(shí)，此時(shí)△AEF≌△DCE，
∴AE=CD．
∵12-x=10，
∴x=2．
②當(dāng)FC=FE時(shí)，有∠FCE=∠FEC=∠CAE，
∴CE=AE=12-x．
在Rt△CHE中，由（12-x）²=（6-x）²+8²，
解得．
③當(dāng)CE=CF時(shí)，有∠CFE=∠CEF=∠CAE，
此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，故點(diǎn)E與點(diǎn)D也重合，不合題意，舍去．
綜上，當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，x=2或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、直角梯形及銳角三角形函數(shù)的定義等知識(shí)；應(yīng)用相似的性質(zhì)，得到比例式，借助比例式解題是很重要的方法，做題時(shí)注意應(yīng)用，對(duì)于等腰三角形問(wèn)題要注意分類討論也是比較重要的，注意掌握．