【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.
(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連接AP、OP、OA.
①求證:△OCP∽△PDA;
②若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長.
(2)若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn),求∠OAB的度數(shù);
(3)如圖2,在(1)的條件下,擦去折痕AO,線段OP,連結(jié)BP,動點(diǎn)M在線段AP⊥(點(diǎn)M與點(diǎn)F、A不重合),動點(diǎn)N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?若變化,說明理由;說明理由;若不變,求出線段EF的長度.
【答案】(1)①△OCP∽△PDA;②AB=10;(2)∠OAB=30°;(3)EF的長度不變.
【解析】
試題分析:(1)①根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠APO=∠B=90°,根據(jù)相似三角形的判定定理證明△OCP∽△PDA;
②根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方解答;
(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠DAP=30°,根據(jù)折疊的性質(zhì)解答即可;
(3)作MQ∥AB交PB于Q,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)得到EF=PB,根據(jù)勾股定理求出PB,計(jì)算即可.
試題解析:解:(1)①由折疊的性質(zhì)可知,∠APO=∠B=90°,
∴∠APD+∠OPC=90°,又∠POC+∠OPC=90°,
∴∠APD=∠POC,又∠D=∠C=90°,
∴△OCP∽△PDA;
②∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,
∴△OCP與△PDA的相似比為1:2,
∴PC=AD=4,
設(shè)AB=x,則DC=x,AP=x,DP=x﹣4,
在Rt△APD中,AP2=AD2+PD2,即x2+82=(x﹣4)2,
解得,x=10,即AB=10;
(2)∵點(diǎn)P是CD邊的中點(diǎn),
∴DP=DC,又AP=AB=CD,
∴DP=AP,
∴∠DAP=30°,
由折疊的性質(zhì)可知,∠OAB=∠OAP=30°;
(3)EF的長度不變.
作MQ∥AB交PB于Q,
∴∠MQP=∠ABP,
由折疊的性質(zhì)可知,∠APB=∠ABP,
∴∠MQP=∠APB,
∴MP=MQ,又BN=PM,
∴MQ=BN,
∵M(jìn)Q∥AB,
∴,
∴QF=FB,
∵M(jìn)P=MQ,ME⊥BP,
∴PE=QE,
∴EF=PB,
由(1)得,PC=4,BC=8,
∴PB==4,
∴EF=2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有如下說法:①平角是一條直線;②射線是直線的一半;③射線AB與射線BA表示同一射線;④用一個(gè)擴(kuò)大2倍的放大鏡去看一個(gè)角,這個(gè)角擴(kuò)大2倍;⑤兩點(diǎn)之間,線段最短;⑥120.5°=120°50′,其中正確的有( )
A. 4個(gè) B. 1個(gè)
C. 2個(gè) D. 3個(gè)
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【題目】如圖,在直角梯形中, ∥,∠=90°,=28cm, =24cm, =4cm,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以1cm/s的速度向點(diǎn)運(yùn)動,點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以2cm/s的速度向點(diǎn)運(yùn)動,當(dāng)其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí),另一個(gè)動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動。則四邊的面積(cm2)與兩動點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間(s)的函數(shù)圖象大致是( )
A. B. C. D.
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【題目】用反證法證明命題“在直角三角形中,至少有一個(gè)銳角不大于45°”時(shí),首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)直角三角形中( )
A. 兩個(gè)銳角都大于45°B. 兩個(gè)銳角都小于45
C. 兩個(gè)銳角都不大于45°D. 兩個(gè)銳角都等于45°
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【題目】菱形ABCD的一條對角線長為6,邊AB的長是方程x2﹣7x+12=0的一個(gè)根,則菱形ABCD的周長為( )
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥DE,∠B=60°,AE⊥BC,垂足為點(diǎn)E.
(1)求∠AED的度數(shù);
(2)當(dāng)∠EDC滿足什么條件時(shí),AE∥DC,證明你的結(jié)論.
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