Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）的頂點(diǎn)A在以E（1，1）為圓心，2為半徑的圓上，且該拋物線經(jīng)過⊙E與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)B、C，AE⊥x軸．
（1）請(qǐng)寫出點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上能否找到一點(diǎn)P，使線段PE與OA互相平分？如果能，寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)B、C兩點(diǎn)在⊙E上，在Rt△BEH與Rt△CEH中，得出EB=EC=2，EH=1，進(jìn)而求出B，C的坐標(biāo)；
（2）利用交點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可；
（3）根據(jù)若滿足條件的點(diǎn)P存在，四邊EAPO一定是平行四邊形，也即一定有AE∥OP，OP=AE，由AE∥OP，可知點(diǎn)P在y軸上，又知P在拋物線y=-（x-1）²+3上，即可的求出．

解答：解：（1）過A、E兩點(diǎn)作直線AE交x軸于H，依題意AE⊥x軸，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）
連接EB、EC，
∵B、C兩點(diǎn)在⊙E上，在Rt△BEH與Rt△CEH中，
∵EB=EC=2，EH=1，
∴BH=CH=

3

，
∴OB=BH-OH=

3

-1；OC=OH+HC=1+

3

，
∴B（1-

3

， 0），C（

3

+1， 0）；

（2）根據(jù)交點(diǎn)式，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1+

3

)(x-1-

3

)，
又∵點(diǎn)A（1，3）在拋物線上，
∴3=a(1-1+

3

)(1-1-

3

)，
解得a=-1，
故拋物線的解析式為y=-（x-1）²+3，
即y=-x²+2x+2，

（3）滿足條件的P點(diǎn)存在．
若滿足條件的點(diǎn)P存在，四邊EAPO一定是平行四邊形，也即一定有AE∥OP，OP=AE，
由AE∥OP，可知點(diǎn)P在y軸上，又知P在拋物線y=-（x-1）²+3上，
可令x=0，得y=2，
∴P（0，2），
此時(shí)恰好OP=AE=2，
所以P（0，2）為所求．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)以及交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式，以及平行四邊形的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．