Question

（2012•黃浦區(qū)二模）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點(diǎn)O在AB上，且CA=CO=6，cos∠CAB=

1

3

，若將△ACB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt△AC′B′，且C′落在CO的延長(zhǎng)線上，連接BB′交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則BF=

14

．

Answer 1

分析：過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD=DO，然后根據(jù)∠CAB的余弦值列式求出AB、AD的值，再求出AO的值，根據(jù)BO=AB-AO代入數(shù)據(jù)求出BO，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC′，AB=AB′，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角得到∠CAC′=∠BAB′，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABB′=∠ACC′，從而求出∠BOF=∠BFO，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得BF=BO，從而得解．

解答：解：過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，
∵CA=CO，
∴AD=DO，
在Rt△ACB中，cos∠CAB=

1

3

=

AC

AB

=

6

AB

，
∴AB=3AC=18，
在Rt△ADC中：cos∠CAB=

1

3

=

AD

AC

，
∴AD=

1

3

AC=2，
∴AO=2AD=4，
∴BO=AB-AO=18-4=14，
∵△AC′B′是由△ACB旋轉(zhuǎn)得到，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∵∠ACC′=

1

2

（180°-∠CAC′），∠ABB′=

1

2

（180°-∠BAB′），
∴∠ABB′=∠ACC′，
∴在△CAO和△BFO中，∠BFO=∠CAO，
∵CA=CO，
∴∠COA=∠CAO，
又∵∠COA=∠BOF（對(duì)頂角相等），
∴∠BOF=∠BFO，
∴BF=BO=14．
故答案為：14．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，求出BO的長(zhǎng)度之后，難點(diǎn)在于求BF=BO．