Question

【題目】小明同學(xué)在做作業(yè)時(shí)，遇到如下問(wèn)題：如圖1，已知：等邊△ABC，點(diǎn)D在BC上，以AD為邊作等邊△ADE，連接CE，求證：∠ACE=60°.

（1）請(qǐng)你解答小明的這道題；
（2）在這個(gè)問(wèn)題中，當(dāng)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E是否在一條線段上運(yùn)動(dòng)？
（直接答“是”或“不是”）
（3）如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG（DEFG按逆時(shí)針排列）。當(dāng)E在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G是否在一條直線上運(yùn)動(dòng)？如果是，請(qǐng)你畫出這條直線并證明；如果不是，也請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）連接AG、CG，①求證：AG2-CE2是定值； ②求AG+CG的最小值（直接寫出答案即可）。

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠B=60°，

∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD△ACE，

∴∠ACE=∠B=60°.

（2）

解：是；∵∠ACE=60°，∠ACB=60°，∴∠BCE=120°，

∴E在以CB為一條邊的120°角的另一邊上，

當(dāng)點(diǎn)D與B重合，E與C重合；

當(dāng)點(diǎn)D與C重合時(shí)，CE的長(zhǎng)最長(zhǎng)=AC；

故點(diǎn)E在一條線段上運(yùn)動(dòng)。

（3）

解：是。證明：過(guò)G作GH⊥CD于H，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG是正方形，

∴∠DCE=90°，∠EDG=90°，DE=DG，

∴∠EDC+∠GDC=90°，∠EDC+∠CED=90°，

∴∠GDC=∠CED，又∵DE=DG，∠DCE=∠GHD=90度，

∴△CDE△HGD，∴GH=CD=2.

又∵GH⊥CD，∴點(diǎn)G是在與CD的距離為2的直線上，過(guò)G作直線//CD，即點(diǎn)G在直線l上運(yùn)動(dòng)。

（4）

解：①延長(zhǎng)AD交直線l于P，由（1）可得△CDE△HGD，

∴CE=DH。

∵l//CD，GH⊥CD，∴∠DHG=∠PGH=90°，

又∵∠PDH=90°，∴四邊形DHGP是矩形，

∴PG=DH=CE，PD=GH=2，

在Rt△AGP中，AG2-PG2=AP2=42=16，

∴AG2-CE2=AG2-PG2=16是定值。

②過(guò)A作關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，交直線l于G′，則AG+CG≥A′G′+CG′=A′C，

在Rt△A′CD中，CD=2,A′D=6,∴A′C = 。

【解析】（1）由△ABC和△ADE是等邊三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠B=60°，則∠BAD=∠CAE，由“SAD”證得△ABD△ACE，即可證得∠ACE=∠B=60°；（2）在D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠BCE=∠ACE=+∠ACB=120°不變，CE邊所在射線不變，且CE的最長(zhǎng)=AC；（3）與前面同理，構(gòu)造全等三角形，過(guò)G作GH⊥CD于H，證明△CDE△HGD，即GH=CD=2且GH⊥CD，則G在一條直線與CD平行，且距離為2；（4）①在（1）的結(jié)論下，延長(zhǎng)AP交直線l于點(diǎn)P，則可得PG=DH=CE，則AG2-CE2=AG2-PG2是定值；②作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接A’C即為最短路徑，再由勾股定理解出長(zhǎng)度。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°，以及對(duì)勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．