Question

如圖直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），BC⊥x軸于C點(diǎn)，點(diǎn)D是直線AB與y軸的交點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑的⊙D經(jīng)過原點(diǎn)，且OB平分∠ABC．
（1）求證：AC是⊙D的切線；
（2）求直線AB的解析式；
（3）直線AB上是否存在一點(diǎn)M使得△AOM的面積等于△ABC的面積？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用圓的切線的判定方法，經(jīng)過半徑外端與半徑垂直的直線是圓的切線，進(jìn)而得出答案；
（2）首先利用HL定理得出Rt△BOE≌Rt△BOC（HL），進(jìn)而利用勾股定理得出BC的長，進(jìn)而求出B點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出直線AB的解析式；
（3）首先求出△ABC的面積，進(jìn)而得出AM的長，利用M點(diǎn)分別在第一象限以及在第三象限進(jìn)而求出其坐標(biāo)即可．

解答：（1）證明：∵以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑的⊙D經(jīng)過原點(diǎn)，
∴BD=DO，DO⊥AC，
∴AC是⊙D的切線；

（2）解：如圖1，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，
∵OB平分∠ABC，OE⊥AB，OC⊥BC，
∴OE=CO，
在Rt△BOE和Rt△BOC中
∵

BO=BO EO=CO

，
∴Rt△BOE≌Rt△BOC（HL），
∴BE=BC，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
∴AO=5，CO=EO=3，
在Rt△AOE中，AE=

AO2-EO2

=4，
設(shè)BE=BC=x，
∵AB²=AC²+BC²，
∴（4+x）²=8²+x²，
解得：x=6，
∴B（3，6），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
則

-5k+b=0 3k+b=6

，
解得：

k= 3 4 b= 15 4

，
故直線AB的解析式為：y=

3

4

x+

15

4

；

（3）解：如圖2，過點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，連接MO，
由（2）得：BC=6，AC=8，
故S_△ABC=

1

2

×6×8=24，
當(dāng)S_△AOM=24，
則

1

2

×EO×AM=24，
故

1

2

×3×AM=24，
解得：AM=16，
當(dāng)M在第一象限，則BM=6，
可得BC∥MF，
故△ABC∽△AMF，
則

BC

MF

=

AB

AM

，
故

6

MF

=

10

16

，
解得：MF=9.6，
當(dāng)y=MF=9.6，故9.6=

3

4

x+

15

4

，
解得：x=7.8，
故此時M點(diǎn)坐標(biāo)為：（7.8，9.6）；
由以上所求可得：
當(dāng)M點(diǎn)在第三象限，過點(diǎn)M′作M′G⊥x軸于點(diǎn)G，
∵AO=5，
∴

1

2

GM′×5=24，
解得：M′G=9.6，
當(dāng)y=-9.6，則-9.6=

3

4

x+

15

4

，
解得：x=-17.8
則此時M點(diǎn)橫坐標(biāo)為：-17.8，
故此時M點(diǎn)坐標(biāo)為：（-17.8，-9.6）；
綜上所述：符合題意的M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（7.8，9.6），（-17.8，-9.6）此時△AOM的面積等于△ABC的面積．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合以及切線的判定和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用分類討論得出M點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．