Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y1=

k

x

（k≠0）圖象上一點(diǎn)，AB⊥x軸于B點(diǎn)，一次函數(shù)y₂=ax+b（a≠0）的圖象交y軸于D（0，-2），交x軸于C點(diǎn)，并與反比例函數(shù)的圖象交于A，E兩點(diǎn)，連接OA，若△AOD的面積為4，且tan∠AOB=

1

2

．
（1）分別求出該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）△AOD是以O(shè)D為底，A的橫坐標(biāo)為高的三角形，由D的坐標(biāo)確定出OD的長(zhǎng)，由已知的面積，利用三角形面積公式求出A的橫坐標(biāo)，即為OB的長(zhǎng)，在直角三角形AOB中，由tan∠AOB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長(zhǎng)，即為A的縱坐標(biāo)，確定出A的坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，將A和D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，得到k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）對(duì)于一次函數(shù)解析式，令y=0，求出對(duì)應(yīng)x的值，即為C的橫坐標(biāo)，確定出C的坐標(biāo)，得到OC的長(zhǎng)，由OB-OC求出BC的長(zhǎng)，再由△ABC為直角三角形，由直角邊AB與BC乘積的一半即可求出面積．

解答：解：（1）∵S_△AOD=

1

2

OD•OB=4，D（0，-2），即OD=2，
∴

1

2

×2×OB=4，即OB=4，
∵AB⊥x軸，tan∠AOB=

1

2

，
∴在Rt△AOB中，AB=OB•tan∠AOB=4×

1

2

=2，
∴A（4，2），
將A的坐標(biāo)代入y₁=

k

x

得：k=8，
∴y₁=

8

x

；
將A（4，2）和D（0，-2）代入y₂=ax+b中得：

4k+b=2 b=-2

，
解得：

k=1 b=-2

，
∴y₂=x-2；

（2）對(duì)于y=x-2，
令y=0，解得：x=2，
∴C（2，0），即OC=2，
∴BC=OB-OC=4-2=2，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×2×2=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，銳角三角函數(shù)定義，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了待定系數(shù)法，待定系數(shù)法是常用的一種解題方法．同學(xué)們要熟練掌握這種方法．