Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²+（m-2）x+

1

2

m-3=0．
（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若這個(gè)方程有一根為x₁=1，設(shè)這個(gè)方程的另一根為x₂，求x₂與m的值；
（3）設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，且滿足2x₁+x₂=m+1，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）先計(jì)算判別式的值，然后配方得到△=（m-3）²+7，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，則可根據(jù)判別式的意義判斷這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得1+x₂=-（m-2），1•x₂=

1

2

m-3，然后解方程組即可；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=-（m-2），x₁•x₂=

1

2

m-3，而2x₁+x₂=m+1，先解出x₁=2m-1，x₂=-3m+3，再得到關(guān)于m的方程（2m-1）（-3m+3）=

1

2

m-3，然后解方程即可．

解答：（1）證明：△=（m-2）²-4（

1

2

m-3）=m²-6m+16=（m-3）²+7，
∵（m-3）²≥0，
∴△＞0，
∴無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：根據(jù)題意得1+x₂=-（m-2），1•x₂=

1

2

m-3，
∴1+

1

2

m-3=-m+2，解得m=

8

3

，
∴x₂=

1

2

•

8

3

-3=-

5

3

；
（3）解：根據(jù)題意得x₁+x₂=-（m-2），x₁•x₂=

1

2

m-3，
∵2x₁+x₂=m+1，
∴x₁=2m-1，x₂=-3m+3，
∴（2m-1）（-3m+3）=

1

2

m-3，
整理得6m²-

17

2

m=0，
解得m₁=0，m₂=

17

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．