Question

 (1)如圖4­3­18(1)，▱ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，直線(xiàn)EF過(guò)點(diǎn)O，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F.求證：AE＝CF.

(2)如圖4­3­18(2)，將▱ABCD(紙片)沿過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)O的直線(xiàn)EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A₁處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B₁處，設(shè)FB₁交CD于點(diǎn)G，A₁B₁分別交CD，DE于點(diǎn)H，I.求證：EI＝FG.

　　　

圖4­3­18

Answer 1

證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，OA＝OC.∴∠1＝∠2.

又∵∠3＝∠4，

∴△AOE≌△COF(ASA)．∴AE＝CF.

(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.

由(1)，得AE＝CF.

由折疊的性質(zhì)，得AE＝A₁E，∠A₁＝∠A，∠B₁＝∠B，

∴A₁E＝CF，∠A₁＝∠C，∠B₁＝∠D.

又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.

∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6.

在△A₁IE與△CGF中，

∴△A₁IE≌△CGF(AAS)．∴EI＝FG.