Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過y軸上一點(diǎn)A作平行于x軸的直線交某函數(shù)圖象于點(diǎn)D，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過點(diǎn)P作DP的垂線交y軸于點(diǎn)E（E在線段OA上，E不與點(diǎn)O重合），則稱∠DPE為點(diǎn)D，P，E的“平橫縱直角”．圖1為點(diǎn)D，P，E的“平橫縱直角”的示意圖．如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)F（0，m），與x軸分別交于點(diǎn)B（﹣3，0），C（12，0）．若過點(diǎn)F作平行于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)N．

（1）點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為　　；

（2）已知一直角為點(diǎn)N，M，K的“平橫縱直角”，若在線段OC上存在不同的兩點(diǎn)M1、M2，使相應(yīng)的點(diǎn)K1、K2都與點(diǎn)F重合，試求m的取值范圍；

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接BQ與FN交于點(diǎn)H，當(dāng)45°≤∠QHN≤60°時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）；（3）m的取值范圍為．

【解析】

（1）利用拋物線的對稱性即可得出結(jié)論；
（2）方法1、先判斷出以FN為直徑的圓與OC有兩個(gè)交點(diǎn)，得出|m|＜，即可得出結(jié)論；

方法2、先判斷出△MOK∽△NWM，得出y＝x2+x，當(dāng)y=m時(shí)轉(zhuǎn)化出關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根即可得出結(jié)論；
（3）先確定出a＝m．進(jìn)而得出y＝m(x+3)(x12)＝m(x)2+m．再得出tan∠BQG==，借助30°≤∠BQG≤45°，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵拋物線與x軸分別交于點(diǎn)B（﹣3，0），C（12，0），

∴此拋物線的對稱軸為x=，

∵FN∥x軸，且F（0，m），

∴N(n,m)橫坐標(biāo)滿足0+n=9，

∴n=9

故答案為：9，

（2）方法一：∵MK⊥MN，

∴要使線段OC上存在不同的兩點(diǎn)M1、M2，使相應(yīng)的點(diǎn)K1、K2都與點(diǎn)F重合，也就是使以FN為直徑的圓與OC有兩個(gè)交點(diǎn)，即r＞|m|．

∵，

∴．

又∵m＞0，

∴．

方法二：∵m＞0，

∴點(diǎn)K在x軸的上方．

過N作NW⊥OC于點(diǎn)W，

設(shè)OM=x，OK=y，

則 CW=OC﹣OW=3，WM=9﹣x．

∵一直角為點(diǎn)N，M，K的“平橫縱直角”，

∴∠NMK=90°，

∴∠OMK+∠NMW=90°，

∵∠OMK+∠OKM=90°，

∴∠OKM=∠WMN，

∵∠KOM=∠MWN=90°，

∴△MOK∽△NWM，

∴,

∴．

∴．

當(dāng)y=m時(shí)，，

化為x2﹣9x+m2=0．

當(dāng)△=0，即92﹣4m2=0，

解得時(shí)，

線段OC上有且只有一點(diǎn)M，使相應(yīng)的點(diǎn)K與點(diǎn)F重合．

∵m＞0，

∴線段OC上存在不同的兩點(diǎn)M1、M2，使相應(yīng)的點(diǎn)K1、K2都與點(diǎn)F重合時(shí)，m的取值范圍為．

（3）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+3）（x﹣12）（a≠0），

又∵拋物線過點(diǎn)F（0，m），

∴m=﹣36a．

∴．

∴．

過點(diǎn)Q作QG⊥x軸與FN 交于點(diǎn)R，

∴QG=m，

∵FN∥x軸，

∴∠QRH=90°，

∵tan∠BQG=，

，，

∴tan∠BQG==，

又45°≤∠QHN≤60°，

∴30°≤∠BQG≤45°，

∴當(dāng)∠BQG=30°時(shí)，

∴tan30°=，

∴，

當(dāng)∠BQG=45°時(shí)，tan45°=，

∴．

∴m的取值范圍為．