Question

如圖1， 在直角梯形ABCD中，，90°，，.點(diǎn)從點(diǎn)D出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)AC交NP于點(diǎn)Q，連結(jié)MQ．

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）填空:AM=        ,AP=         ．(用含t的代數(shù)式表示)

（2）t取何值時(shí)，梯形ABNM面積等于梯形ABCD面積的一半；

（3）如圖2，將△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某時(shí)刻，使四邊形AQMK 為正方形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）AM=4-2t                                       ………………2分 

        AP=1+t                                        ………………4分

（2）∵梯形ABNM面積等于梯形ABCD面積的一半

∴              ………………6分

解得                                  ………………8分

∴當(dāng)時(shí)，梯形ABNM面積等于梯形ABCD面積的一半   ………9分

（3） 存在

∵ ,

∴

∵ △AQM沿AD翻折，得△AKM

         ∴ QM=MK, AQ=AK

          ∠KAQ=2∠CAD=90°                        ………………11分

要使四邊形AQMK為正方形

則 AQ=MQ                                                ………………12分

∵  ∴      ∴            ∴     ∴

∴ 當(dāng)時(shí)，四邊形AQMK為正方形                      ………………14分