Question

如圖，已知矩形OABC，點P在邊OA上（不與端點重合），點Q在邊CO上（不與端點重合）．
（1）如圖（1），若∠BPQ=90°，且△OPQ與△PAB和△QPB相似，請寫出表示這三個三角形相似的式子，并探究此時線段OQ、QB、BA之間的數(shù)量關系．
（2）若∠PQB=90°，且△OPQ與△PAB、△QPB都相似，如圖（2），請重新寫出表示這三個三角形相似的式子，并證明AB：OA=2：3．
（3）在（1）中，若OA=8，OC=8，OP=CQ．以矩形OABC的兩邊OA、OC所在的直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標系，如圖（3），若某拋物線頂點為P，點B在拋物線上．
①求此拋物線的解析式．
②過線段BP上一動點M（點M與點P、B不重合），作y軸的平行線交拋物線于點N，若記點M的橫坐標為m，試求線段MN的長L與m之間的函數(shù)關系式，畫出該函數(shù)的示意圖，并指出m取何值時，L有最大值，最大值是多少？

Answer 1

解：（1）△OPQ和△ABP中，∵∠OPQ+∠APB=90°，且∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPQ=∠ABP；
△BPQ和△ABP中，∵BC∥OA，∴∠APB=∠CBP＞∠PBQ，
若兩個三角形相似，則：∠PBQ=∠ABP；
∴∠OPQ=∠ABP=∠PBQ
又∵∠O=∠A=∠QPB=90°，
∴△OPQ∽△ABP∽△PBQ．
在△OPQ和△PBQ中，∠OQP=∠PQB，過P作PD⊥BQ于D，則 OQ=QD；
同理，可得：BD=AB，
∴BQ=QD+BD=OQ+AB．

（2）同（1）可確定∠QBP=∠ABP，由圖知：∠QPO=∠BPA
∴∠OQP=∠ABP=∠QBP，又∠BQP=∠QOP=∠BAP=90°
∴△OPQ∽△APB∽△QPB．
由（1）的結論知：∠OQP=∠QBC=∠QBP=∠ABP，且∠ABC=90°，
∴∠QBC=30°，則 BQ：CB=2：=2：3；
由△QPB∽△APB，且BP=BP，所以△QPB≌△APB，得：AB=BQ；
∴AB：BC=2：3，即 AB：OA=2：3．

（3）①由（1）的解答過程知：若△OPQ與△PAB和△QPB相似，則必須滿足的條件是∠QPB=90゜；
此時∠OQP=∠BQP、∠QBP=∠ABP，由（1）題圖可知：OP=AP=PD；
∴OP=AP=OA=4，即 P（4，0）；
設拋物線的解析式為：y=a（x-4）²，代入點B（8，8），得：
a（8-4）²=8，解得 a=
∴拋物線的解析式為：y=（x-4）²=x²-2x+8．
②設直線BP的解析式為：y=kx+b，代入B（8，8）、P（4，0），得：
，解得
∴直線BP：y=x-8．
已知點M的橫坐標為m，則 M（m，m-8）、N（m，m²-2m+8），則有：
MN的長：L=m-8-（m²-2m+8）=-m²+3m-16（4＜m＜8）（如右圖）
配方，得：L=-（m²-12m+72）+²=-（m-6）²+2，
∴當m取6時，L有最大值，且最大值為 2．
分析：（1）要寫成三個三角形相似的式子，需要先找出相等的對應角，首先由BC∥OA，確定∠CBP=∠BPA＞∠QBP，那么三個相似三角形的一組對應角應該是：∠QBP、∠QPO、∠ABP，顯然能得出∠QBP=∠ABP、∠OQP=∠BQP，那么過P作BQ的垂線，根據(jù)角平分線定理即可判斷出OQ、QB、BA三者之間的數(shù)量關系．
（2）同（1），先根據(jù)圖示確定相似三角形的對應角，然后根據(jù)三個三角形的對應頂點寫出三角形相似的式子；在△BQP、△BPA中，有公共邊BP，可確定兩者全等，那么BQ=AB，因此確定出∠CBQ的度數(shù)，即可確定AB、BC（OA）的比例關系，那么可以從△OQP、△CQB、△ABP這三個相似三角形入手．
（3）①首先結合（1）的解題過程，確定OP的長，進而得出點P的坐標，再利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式；
②首先利用待定系數(shù)法求出直線BP的解析式，然后根據(jù)直線BP、拋物線的解析式，用點M的橫坐標表示出點M、N的縱坐標，兩點縱坐標的差即為L的函數(shù)表達式，再根據(jù)函數(shù)的性質進行判斷即可．
點評：此題主要考查的是相似三角形以及二次函數(shù)的相關知識，題目的難度逐題遞進，前面的題目為后面的解答過程提供了很好的鋪墊，這樣也降低了解題的難度．在解題時，一定要注意合理利用圖形的輔助作用．另外，在求函數(shù)解析式和畫函數(shù)圖象時，要注意自變量的取值范圍．