(2013•浦東新區(qū)一模)已知:如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,點(diǎn)M在邊BC上,且∠MDB=∠ADB,BD2=AD•BC.
(1)求證:BM=CM;
(2)作BE⊥DM,垂足為點(diǎn)E,并交CD于點(diǎn)F.求證:2AD•DM=DF•DC.
分析:(1)首先證明BM=DM,再根據(jù)已知條件證明△ADB∽△DBC,由相似的性質(zhì)可得∠BDC=∠A=90°,進(jìn)而證明DM=CM,所以BM=CM;
(2)由(1)可知M是BC的中點(diǎn),所以DM是三角形BDC斜邊上的中線,由直角三角形的性質(zhì)可知BC=2DM,證明Rt△DFB∽R(shí)t△DBC可得
BD
DF
=
DC
BD
,所以BD2=DF•DC,又因?yàn)锽D2=AD•BC,所以BD2=AD•BC=AD•﹙2DM﹚=2AD•DM.
解答:證明:(1)∵AD∥BC,AB⊥BC,∠MDB=∠ADB,
∴∠ADB=∠DBC=∠MDB,∠A=90°,
∴BM=DM,
又∵BD2=AD•BC,即
AD
BD
=
BD
BC

∴△ADB∽△DBC,
∴∠BDC=∠A=90°,
∴∠C=∠MDC=90°-∠DBC,
∴DM=CM,
∴BM=CM,

(2)∵∠MDC+∠DFB=90°,
∴∠DFB=∠DBC,
∴Rt△DFB∽R(shí)t△DBC,
BD
DF
=
DC
BD
,
∴DF•DC=BD2
∵BD2=AD•BC=AD•﹙2DM﹚=2AD•DM,
∴2AD•DM=DF•DC.
點(diǎn)評(píng):本題考查了梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及比例式的證明,題目的綜合性很強(qiáng),難度不。
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4
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a
-
1
2
b
)-
1
2
(2
a
+
b
)
=
-
b
-
b

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(-
7
2
,4)或(
1
2
,-4)
(-
7
2
,4)或(
1
2
,-4)

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