Question

【題目】如圖，已知：拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點為頂點，連接，，拋物線的對稱軸與軸交與點．

（1）求拋物線解析式及點的坐標(biāo)；

（2）G是拋物線上，之間的一點，且，求出點坐標(biāo)；

（3）在拋物線上，之間是否存在一點，過點作，交直線于點，使以，，為頂點的三角形與相似？若存在，求出滿足條件的點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；頂點坐標(biāo)為；（2）點；（3）存在，或．

【解析】

（1）由點A、B坐標(biāo)即可得到拋物線的解析式，將配成頂點式即可求出頂點；

（2）設(shè)，待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，求出DF，得到△BCD的面積，根據(jù)，得到，待定系數(shù)法求出BD解析式，從而表達(dá)出△BDG的面積，列出方程即可解答；

（3）以、、為頂點的三角形與相似，則以、、為頂點的三角形與相似，①當(dāng)△PCB∽△BDE，②當(dāng)△CPB∽△BDE，利用相似比解出BP，求出點P坐標(biāo)及直線CP的解析式，聯(lián)立方程組即可求出M的坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線與軸交于、兩點，

∴，

解得．

所以，拋物線的解析式為；

∴；

∴頂點坐標(biāo)為．

（2）連接，

令，則，

所以，點，

設(shè)直線BC的解析式為y=ax+d，

將，代入得，解得a=1，d=-3；

∴直線的解析式為，

設(shè)直線與對稱軸相交于點，

時，，

所以，點，

所以，，

∴，

∵，

∴，

設(shè)過點與軸平行的直線相交于點，直線的解析式為，

則，

解得，

所以，直線的解析式為，

設(shè)，

則，

所以，，

整理得，，

解得，

，

所以，點；

（3）存在

由勾股定理得，，

如圖，過點作交的延長線于，過點作軸于，

∵，

∴，

∵，，，

∴、與軸的夾角都是45°，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵以、、為頂點的三角形與相似，

∴以、、為頂點的三角形與相似，

①當(dāng)△PCB∽△BDE

∴，即

解得，

∴，

所以，，

所以，點，

設(shè)直線的解析式為，

則，

解得，

所以，直線的解析式為，

聯(lián)立，

解得（舍去），，

所以，點，

②當(dāng)△CPB∽△BDE

∴，即

解得，

∴，

所以，，

所以，點，

設(shè)直線的解析式為，

則，

解得，

所以，直線的解析式為，

聯(lián)立，

解得（舍去），，

∴點，

綜上所述，存在點或，使、、為頂點的三角形與相似．