Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3交x軸于點A（-1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第一象限內拋物線上，找一點M使△OCM的面積是△OAM的面積的

3

2

倍，求點M的坐標；
（3）在拋物線上，找一點N使∠NCA=2∠ACB，求點N的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）把A（-1，0），B（3，0）兩點代入y=ax²+bx-3求解即可，
（2）由y=x²-2x-3交y軸于點C．可得OC=3，設M（x，y），由△OCM的面積是△OAM的面積的

3

2

倍，可得

1

2

OC•x=

3

2

×

1

2

•|AO|•y，解得y=2x，代入y=x²-2x-3求解即可．
（3）作NQ⊥AB于點Q，CH⊥NQ于點H，由△AOC∽△NHC，設N（x，y），由

NH

AO

=

CH

CO

，可得x=-3y-9，與y=x²-2x-3聯立求解即可．

解答：解：（1）把A（-1，0），B（3，0）兩點代入y=ax²+bx-3得

0=a-b-3 0=9a+3b-3

，解得

a=1 b=-2

，
所以拋物線的解析式y(tǒng)=x²-2x-3．
（2）如圖1，

∵y=x²-2x-3交y軸于點C．
∴OC=3，
設M（x，y），
∵△OCM的面積是△OAM的面積的

3

2

倍，
∴

1

2

OC•x=

3

2

×

1

2

•|AO|•y，
∴y=2x，
代入y=x²-2x-3得，x₁=2+

7

，x₂=2-

7

（舍去），
∴y=2x=4+2

7

，
∴M（2+

7

，4+2

7

）．
（3）如圖2，作NQ⊥AB于點Q，CH⊥NQ于點H，

∵OB=3，OC=3，
∴∠OCB=∠BCH=45°，
∵∠NCA=2∠ACB，
∴∠OCA=∠NCH，∠AOC=∠NHC=90°，
∴△AOC∽△NHC，
設N（x，y），
∴

NH

AO

=

CH

CO

，
∴

-y-3

1

=

x

3

，解得x=-3y-9，
與y=x²-2x-3聯立得

y=x2-2x-3 x=-3y-9

，解得

x=0 y=-3

（舍去），

x= 5 3 y=- 32 9

．
∴N（（

5

3

，-

32

9

）．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合題，解題的關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識求解．