Question

【題目】（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝kAC，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，DE∥BC．

填空：BD，CE的數(shù)量關(guān)系為　 　；位置關(guān)系為　 　；

（2）類比探究

如圖②，將△ADE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤90°），連接BD，CE，請(qǐng)問（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，直線BD，CE交于點(diǎn)F，若AC＝1，AB＝，當(dāng)∠ACE＝15°時(shí)，請(qǐng)直接寫出BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）問題發(fā)現(xiàn)：BD＝kCE；BD⊥CE；（2）類比探究：（1）中的結(jié)論還成立，理由見解析；（3）拓展延伸：BF的長(zhǎng)為或．

【解析】

（1）由平行線分線段成比例可得，由已知條件即可得BD=kEC；由∠A=90°即可得出BD⊥CE；
（2）通過證明△ABD∽△ACE，可得=k，即可得BD=kEC；再證出∠BFC=90°，即可得出BD⊥CE；
（3）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可得∠ACE=∠ABD，即可證∠BFC=90°，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求BF的值．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：

解：∵DE∥BC，

∴＝，

∵AB＝kAC，

∴BD＝kCE，

∵∠A＝90°，

∴AB⊥AC，

∴BD⊥CE；

故答案為：BD＝kCE；BD⊥CE；

（2）類比探究：

解：（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：

延長(zhǎng)CE交BD于F，如圖②所示：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAD＝∠CAE，

∵DE∥BC，

∴＝，

∴＝，

∴△ABD∽△ACE，

∴＝＝k，∠ABD＝∠ACE，

∴BD＝kEC；

∵∠CBF+∠BCF＝∠ABD+∠ABC+∠BCF＝∠ACE+∠BCF+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝90°，

∴∠BFC＝90°，

∴BD⊥CE；

（3）拓展延伸：

解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠BAD＝∠CAE

∵＝，

∴△ABD∽△ACE，

∴∠ACE＝15°＝∠ABD，

∵∠ABC+∠ACB＝90°，

∴∠FBC+∠FCB＝90°，

∴∠BFC＝90°，

∵∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝，

∴tan∠ABC＝，

∴∠ABC＝30°，

∴∠ACB＝60°，

分兩種情況：

①0°＜α≤90°時(shí)，如圖②所示：

∴在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AC＝1，

∴BC＝2AC＝2，

∵在Rt△BFC中，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2，

∴BF＝CF＝；

②α＞90°時(shí)，如圖③所示：

設(shè)CF＝a，在BF上取點(diǎn)G，使∠BCG＝15°

∵∠BCF＝60°+15°＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝30°﹣15°＝15°，

∴∠CFB＝90°，

∴∠GCF＝60°，∠CBF＝∠BCG，

∴CG＝BG＝2a，GF＝a．

∴BF＝BG+GF＝（2+）a，

∵CF2+BF2＝BC2

∴a2+（2a+a） 2＝22，

解得：a2＝2﹣，

∴a＝，

∴BF＝（2+）＝＝＝；

即：BF的長(zhǎng)為或．