如圖1，拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點為A（0，3），交x軸于點B、C（點B在點C的左側(cè)，）頂點為E（1，4），過點A作x軸的平行線AL，

（1）求拋物線的解析式及B點的坐標；
（2）點P從頂點E出發(fā)沿對稱軸右側(cè)的拋物線運動，過點P作直線PQ平行于y軸交直線AL于點Q，保持點Q以每秒1個單位的速度向右運動，同時點R從原點O出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿x軸正方向運動，設(shè)運動時間為t秒，
①若點P在直線AL的下方，當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△AOR相似？
②當t=0時，以點A、P、R、Q為頂點的四邊形是梯形，如圖2，是否還存在另外的t值，使以點A、P、R、Q為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出t的值，并直接寫出該梯形的面積；若不存在，請說明理由．
分析：（1）根據(jù)頂點坐標設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2+4，然后把點A的坐標代入求出a的值即可得解，再令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到點B的坐標；
（2）①先求出拋物線的對稱軸解析式，再根據(jù)點P、R的速度求出AQ，OR，利用拋物線解析式表示出PQ，再分AQ和AO是對應(yīng)邊，AQ和OR是對應(yīng)邊，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可得到t的值；
②點P與點C重合時，PR∥AQ，四邊形APRQ是梯形，根據(jù)點C的坐標求出時間，然后表示出AQ、PR，再利用梯形的面積公式列式計算即可得解；AP∥QR時，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠APQ=∠PQR，設(shè)PQ與x軸相交于D，從而得到△APQ和△RQD相似，然后表示出AQ、RD，再根據(jù)拋物線解析式表示出PQ，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出時間t，再根據(jù)梯形的面積=S△APQ+S△PQR，列式計算即可得解．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2+4，
把（0，3）代入，得，a+4=3，
解得，a=-1，
所以，函數(shù)的解析式為，y=-（x-1）2+4，
即：y=-x2+2x+3，
在y=-x2+2x+3中，令y=0，則-x2+2x+3=0，
解得，x=-1或3，
所以，B點的坐標是（-1，0）；

（2）①∵y=-（x-1）2+4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∵點Q的速度為每秒1個單位，點R的速度為每秒2個單位，
∴AQ=t+1，OR=2t，
∵點P在拋物線上，PQ∥y軸，
∴PQ=3-[（-（t+1）2+2（t+1）+3]=（t+1）2-2（t+1），
若AQ和AO是對應(yīng)邊，∵△AQP∽△AOR，
∴
AQ
AO
=
PQ
OR
，
即
t+1
3
=
(t+1)2-2(t+1)
2t
，
解得t=3，
若AQ和OR是對應(yīng)邊，∵△AQP∽△ROA，
∴
AQ
OR
=
PQ
AO
，
即
t+1
2t
=
(t+1)2-2(t+1)
3
，
整理得，2t2-2t-3=0，
解得t1=
1+
7
2
，t2=
1-
7
2
（舍去），
綜上所述，t=
1+
7
2
或3時，以A、P、Q為頂點的三角形與△AOR相似；

②當點P在x軸上即點P與點C重合時，PR∥AQ，四邊形APRQ是梯形，
∵點C的坐標為（3，0），
∴AQ=t+1=3，
解得t=2，
∴AQ=2+1=3，PR=OR-OP=2×2-3=1，
S梯形AQRP=
1
2
（3+1）×3=6；

AP∥QR時，∠APQ=∠PQR，
設(shè)PQ與x軸相交于D，
又∵∠AQP=∠RDQ=90°，
∴△APQ∽△RQD，
∵AQ=t+1，RD=OR-OD=2t-（t+1）=t-1，
PQ=（t+1）2-2（t+1），
∴
AQ
RD
=
PQ
QD
，
即
t+1
t-1
=
(t+1)2-2(t+1)
3
，
整理得，（t-1）2=3，
解得t=1+
3
或t=1-
3
（舍去），
此時，PQ=（1+
3
+1）2-2（1+
3
+1）=2
3
+3，
AQ=1+
3
+1=2+
3
，
RD=1+
3
-1=
3
，
梯形的面積=S△APQ+S△PQR，
=
1
2
×（2+
3
）×（2
3
+3）+
1
2
×（2
3
+3）×
3
，
=
1
2
×（2
3
+3）×（2+
3
+
3
），
=（2
3
+3）×（1+
3
），
=2
3
+6+3+3
3
，
=9+5
3
．
綜上所述，t=2時，以點A、P、R、Q為頂點的四邊形是梯形，面積是6，
t=1+
3
時，以點A、P、R、Q為頂點的四邊形是梯形，面積是9+5
3
．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形的對邊的性質(zhì)，（1）利用頂點式形式求解更加簡便，（2）難點在于兩個小題都要分情況討論．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知二次函數(shù)的圖象是經(jīng)過點A（1，0），B（3，0），E（0，6）三點的一條拋物線．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖，設(shè)拋物線的頂點為C，對稱軸交x軸于點D，在y軸正半軸上有一點P，且以A、O、P為頂點的三角形與△ACD相似，求P點的坐標．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

精英家教網(wǎng)閱讀材料：如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h）．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S△ABC=
12
ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．
解答下列問題：
如圖2，拋物線頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），點P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點B為拋物線與y軸的交點，求直線AB的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的對稱軸分別交AB、x軸于點D、M，連接PA、PB，當P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB；
（4）在（2）的條件下，設(shè)P點的橫坐標為x，△PAB的鉛垂高為h、面積為S，請分別寫出h和S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）如圖1，矩形ABCD，點C與坐標原點O重合，點A在x軸上，點B坐標為（3，
3
），求經(jīng)過A、B、C三點拋物線的解析式；
（2）如圖2，拋物線E：y=-
1
2
x2+bx+c經(jīng)過坐標原點O，其頂點在y軸左側(cè)，以O(shè)為頂點作矩形OADC，A、C為拋物線E上兩點，若AC∥x軸，AD=2CD，則拋物線的解析式是
 
；
（3）如圖3，點A、B、C分別為拋物線F：y=ax2+bx+c（a＜0）上的點，點B在對稱軸右側(cè)，點D在拋物線外，順次連接A、B、C、D四點，所成四邊形為矩形，且AC∥x軸，AD=2CD，求矩形ABCD的周長（用含a的式子表示）．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，將拋物線y=-
1
2
x2平移后經(jīng)過原點O和點A（6，0），平移后的拋物線的頂點為點B，對稱軸與拋物線y=-
1
2
x2相交于點C，則圖中直線BC與兩條拋物線圍成的陰影部分的面積為（　�。�

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

閱讀材料：
如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h）．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S△ABC=ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．

解答下列問題：
如圖2，拋物線頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），點P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點B為拋物線與y軸的交點，求直線AB的解析式；
（3）設(shè)點P是拋物線（第一象限內(nèi)）上的一個動點，是否存在一點P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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