Question

如圖1，在△ABC，∠A=45°，延長CB至D，使得BD=BC．

（1）若∠ACB=90°，求證：BD=AC；

（2）如圖2，分別過點(diǎn)D和點(diǎn)C作AB所在直線的垂線，垂足分別為E、F，求證：DE=CF；

（3）如圖3，若將（1）中“∠ACB=90°”去掉，并在AB延長線上取點(diǎn)G，使得∠1=∠A”．試探究線段AC、DG的數(shù)量與位置關(guān)系．

　

Answer 1

（1）證明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，

∵BD=BC，∴BD=AC；

（2）證明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠E=∠CFB=90°，

∵∠DBE=∠CBF，BD=BC，∴△DBE≌△CBF（AAS），∴DE=CF；

（3）解：DG=AC，DG⊥AC．

證明：過點(diǎn)C作CE∥DG交AB于點(diǎn)E，∴∠2=∠3，

∵∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∴∠1=∠4，∵∠1=∠A，∴∠4=∠A，∴AC=CE，

∵BD=BC，∠EBC=∠GBD，∠2=∠3，

∴△DBG≌△CBE（AAS），∴CE=DG，∴DG=AC．

∵∠A=45°，∴∠4+∠A=90°，∴∠ACE=90°，∴AC⊥CE，∴AC⊥DG．

∴DG=AC，DG⊥AC．