Question

關(guān)于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）設(shè)方程的兩根分別為x₁、x₂，是否存在實(shí)數(shù)k，使

1

x1

+

1

x2

=0？若存在，求出k值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）因原方程有兩個不相等實(shí)根，所以△=b²-4ac＞0，代入a、b、c的值，解不等式即可．
（2）先將兩根的倒數(shù)和通分變形為含有兩根和、兩根積的形式，即

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=0，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表示出兩根和、兩根積，再代入上式中，求出k的值，利用（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷即可．

解答：解：（1）由題意得，△=（k+2）²-4k•

k

4

＞0，
解得，k＞-1，
又∵k≠0
∴k的取值范圍是k＞-1且k≠0；

（2）不存在符合條件的實(shí)數(shù)k
理由：∵方程kx²+（k+2）x+

k

4

=0的兩根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁•x₂=

1

4

，
∵

1

x1

+

1

x2

=0，
即

x1+x2

x1•x2

=0，
則-

k+2

k

÷

1

4

=0，
∴k=-2，
由（1）知，k=-2時，△＜0，原方程無實(shí)數(shù)解，
∴不存在符合條件的k的值．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解答題目時一定要注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0這一條件．