Question

如圖，拋物線y=-

1

9

x²-

1

3

x+2與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，設(shè)N是拋物線對稱軸上的一個動點，d=|AN-CN|．探究：是否存在一點N，使d的值最大？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)和d的最大值；若不存在，請簡單說明理由．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：根據(jù)拋物線的解析式求得B、C的坐標(biāo)以及對稱軸方程，然后連接BC并延長，交拋物線的對稱軸x=-

3

2

于點N，連接AN，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出AN=BN，并且根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出此時d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大．運用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再將x=-

3

2

代入，求出y的值，得到點N的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可．

解答：解：在拋物線對稱軸上存在一點N，能夠使d=|AN-CN|的值最大．理由如下：
∵y=-

1

9

x²-

1

3

x+2與x軸交于點A和點B，
∴點A和點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，C（0，2），
令y=0，則0=-

1

9

x²-

1

3

x+2，
解得x=3或x=-6，
∴A（-6，0），B（3，0），
∵y=-

1

9

x²-

1

3

x+2=-

1

9

（x²+3x）+2=-

1

9

（x+

3

2

）²+

9

4

，
∴對稱軸x=-

3

2

連接BC并延長，交直線x=-

3

2

于點N，連接AN，則AN=BN，此時d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大．
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+t，將B（3，0），C（0，2）兩點的坐標(biāo)代入，
得

3m+t=0 t=2

，解得

m=- 2 3 t=2

，
∴直線BC的解析式為y=-

2

3

x+2，
當(dāng)x=-

3

2

時，y=-

2

3

×（-

3

2

）+2=3，
∴點N的坐標(biāo)為（-

3

2

，3），d的最大值為BC=

32+22

=

13

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，拋物線與x軸的交點、軸對稱的性質(zhì)等知識，難度適中．其中根據(jù)軸對稱及三角形三邊關(guān)系定理確定點N的位置是關(guān)鍵．