Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），交x軸于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊），交y軸于點(diǎn)C，已知A、B兩點(diǎn)之間的距離為4．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)間的距離之差最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在x軸上方平行于x軸的一條直線y=m交拋物線于M、N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使△QMN為等腰直角三角形？若存在，求出相對(duì)應(yīng)的m值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得|PB-PC|=|PA-PC|，即P、C、A三點(diǎn)共線的時(shí)候這個(gè)差最大，得點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，-6）；
（3）先假設(shè)存在一點(diǎn)Q，使△QMN為等腰直角三角形，再按此條件計(jì)算，分類討論可得出結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)題意，A（-1，0），B（3，0），頂點(diǎn)（1，-4）
∴解方程組：

a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得：a=1，b=-2，c=-3．
∴這個(gè)拋物線的解析式：y=x²-2x-3．
∵C點(diǎn)是拋物線與y軸的交點(diǎn)．
∴C（0，-3）；

（2）∵P在拋物線的對(duì)稱軸上，
又∵A、B是關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴PB=PA，
即：|PB-PC|=|PA-PC|，（根據(jù)對(duì)稱性，求P到B和C的距離之差就是求P到A和C的距離之差）
∴P、C、A三點(diǎn)共線的時(shí)候這個(gè)差最大．
∴連接AC并延長(zhǎng)與拋物線對(duì)稱軸交于一點(diǎn)P即為所求．
∴根據(jù)A、C兩點(diǎn)求出AC的方程：y=-3x-3
∴AC與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，-6）．

（3）假設(shè)存在一點(diǎn)Q，使△QMN為等腰直角三角形，
分三種情況：MQ=MN與NQ=MN時(shí)不成立，
若QN=QM，
則可得Q₁（2，0），
∴m=3．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．