Question

如圖，拋物線y=-2x²+4x與x軸交于O、B兩點(diǎn)，C為頂點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且△OPC是以O(shè)C為直角邊的三角形，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-2x²+4x），再利用兩點(diǎn)間的距離公式得到OP²=x²+（-2x²+4x）²，PC²=（x-1）²+（-2x²+4x-2）²，再分類討論：當(dāng)∠PCO=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理得OC²+PC²=OP²；當(dāng)∠POC=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理OC²+PO²=CP²，然后分別得到x的一元二次方程，解方程求出x即可得到滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：∵拋物線y=-2x²+4x，
∴可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-2x²+4x），
∵C為拋物線頂點(diǎn)，
∴C（1，2），
則OC²=1²+2²=5，OP²=x²+（-2x²+4x）²，PC²=（x-1）²+（-2x²+4x-2）²，
當(dāng)∠PCO=90°時(shí)，OC²+PC²=OP²，即5+（x-1）²+（-2x²+4x-2）²=x²+（-2x²+4x）²，
整理得4x²-9x+5=0，解得x₁=1（舍去），x₂=

5

4

，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

4

，

15

8

）；
當(dāng)∠POC=90°時(shí)，OC²+PO²=CP²，即5+x²+（-2x²+4x）²=（x-1）²+（-2x²+4x-2）²，
整理得4x²-9x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=

9

4

，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（

9

4

，-

9

8

），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

4

，

15

8

）或（

9

4

，-

9

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系，△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．也考查了兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理．