Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)D作⊙O的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：BC∥DE；
（2）若AB=3，BD=2，求CE的長(zhǎng)；
（3）在題設(shè)條件下，為使BDEC是平行四邊形，△ABC應(yīng)滿足怎樣的條件（不要求證明）．

Answer 1

（1）證明：連接CD；
∵DE是圓O的切線，
∴∠CDE=∠CBD．
∵∠CBD=∠DAC，
∴∠CDE=∠DAC．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠CDE=∠BAD．
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠CDE=∠BCD．
∴BC∥DE．

（2）解：如圖，連接CD；
∵AD平分∠BAC，
∴=．
∴∠BCD=∠CBD．
∴BD=CD=2．
∵BC∥DE，
∴∠E=∠ACB=∠ADB．
又由（1）中已證得∠CDE=∠BAD，
∴△ABD∽△DCE．
∴AB：BD=CD：CE．
∴CE=BD•CD÷AB=．

（3）解：應(yīng)該是∠BAC=2∠ACB．
分析：（1）連接CD，可根據(jù)圓周角定理通過(guò)AD平分∠BAC得出∠DCB=∠DBC，根據(jù)弦切角定理可得出∠CDE=∠DBC，將等角置換后即可得出∠BCD=∠CDE．即可得出平行；
（2）由（1）不難得出BD=CD（等角對(duì)等邊），然后通過(guò)證明三角形ABD和CDE相似，來(lái)得出AB、BC、CD、CE的比例關(guān)系，有了AB、BD、CD的值就求出了CE的長(zhǎng)；
（3）要使BDEC是平行四邊形，那么BD∥CE，可通過(guò)弦切角定理得出∠BAD=∠ACB，也就得出了=，上面（1）中已經(jīng)得出，因此，∠ACB=∠BAD=∠CAD，因此∠BAC=2∠ACB．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，有一定的綜合性．