Question

關(guān)于m和n的方程5m²-6mn+7n²=2011是否存在整數(shù)解？如果存在，請寫出一組解來；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：首先假設(shè)此方程有整數(shù)解，然后化5m²-6mn+7n²=2011為：4m²+（m-3n）²-2n²=2011，由奇數(shù)的平方除以4余1，偶數(shù)的平方除以4余0，可得只有m-3n是奇數(shù)，然后分別從n是偶數(shù)，m是奇數(shù)與m是偶數(shù)，n是奇數(shù)去分析，推出矛盾，則可證得關(guān)于m和n的方程5m²-6mn+7n²=2011不存在整數(shù)解．

解答：證明：假設(shè)此方程有整數(shù)解．
化5m²-6mn+7n²=2011為：4m²+（m-3n）²-2n²=2011，
又∵2011是奇數(shù)，
∴只有m-3n是奇數(shù)，
若n是偶數(shù)，則m就是奇數(shù)．
又∵奇數(shù)的平方除以8余1，偶數(shù)的平方除以8余0或4，
∴4m²+（m-3n）²-2n²除以8的余數(shù)為4+1-0=5；
∵2011除以8余3．
∴這是一個矛盾；
∴m可能為是偶數(shù)，n就是奇數(shù)，
∵解原方程：m=

6n± 36n2-20(7n2-2011)

10

=

3n± 10055-26n2

5

①，
∵m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，
∴10055-26n²＞0，且是個平方數(shù)，
∴n²＜387，
即n≤19，
然后將n=1，3，5，…，19代入①求解，
但無符合條件的值．
∴這也是一個矛盾．
∴原方程無整數(shù)解．

點評：此題考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根的知識．解題的關(guān)鍵只注意掌握反證法的應(yīng)用與分類討論思想的應(yīng)用．