Question

【題目】已知：如圖，△AOB的頂點O在直線上，且AO=AB.

(1)畫出△AOB關(guān)于直線成軸對稱的圖形△COD，且使點A的對稱點為點C；

(2)在(1)畫出的圖形中，AC與BD的位置關(guān)系是 ；

(3)在(1)畫出的圖形中連接AD，如果∠ABD=2∠ADB.

求證：△AOC是等邊三角形，并直接寫出∠DAO∶∠DAB的值.

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析； (2) AC //BD；(3) 證明見解析，∠DAO∶∠DAB =1: 3

【解析】

（1）按照題中描述作圖可得；

（2）利用平行線的判定定理，找到平行線間角的關(guān)系，可判定出直線的關(guān)系；

（3）利用三角形中等角對等邊可得到所求角處在等邊三角形中，故得出所求∠DAO∶∠DAB的值.

解：（1）如圖所示，△COD為所求作.

(2) AC //BD，證明如下：

∵△ABO和△COD對稱

∴∠BAO= ∠DCO, ∠ABO=∠CDO， OC=OA, OB=OD，

∴ ∠OCA= ∠OAC, ∠ODB = ∠OBD,

∵四邊形的內(nèi)角和為360°，

∴∠BAO +∠DCO+∠ABO + ∠CDO + ∠OCA+∠OAC + ∠ODB + ∠OBD = 360°，

∴∠CAO+ ∠OAB +∠ABO + ∠OBD = 180°，

∴∠CAB + ∠ABD = 180，

∴AC //BD

(3) ∵△ABO和△COD對稱

∴∠ABO=∠CDO，OB=OD

∴∠OBD=∠ODB

∴∠ABO+∠OBD=∠CDO+ODB

∴∠ABD=∠CDB

∵∠ABD=2∠ADB

∴∠CDB=2∠ADB

∵∠CDB=∠ADB+∠ADC

∴2∠ADB=∠ADB+∠ADC

∴∠ADB=∠ADC

∵AC//BD

∴∠ADB=∠CAD

∴∠ADC=∠CAD

∴ CD=AC

∵△ABO和△COD對稱且AB=AO ;

∴AB=AO=CO=CD=AC

∴CA=CO= AO

∴△AOC是等邊三角形

∴∠CAO=∠ACO=60°

設(shè)∠DAO=x，則∠CAD=60°-x

∵CA=CD

∴∠CAD=∠CDA=60°-x

∴∠DCA =60°+2x

∴∠DCO =2x

∵△ABO和△COD對稱

∴∠DCO =∠BAO =2x

∴∠DAB=3x

∴∠DAO∶∠DAB =1: 3