Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，△ABC的面積為12．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在二次函數(shù)的圖像上，∠ADP為銳角，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)E在x軸的正半軸上，，點(diǎn)O與點(diǎn)關(guān)于EC所在直線對(duì)稱，過點(diǎn)O作的垂線，垂足為點(diǎn)N，ON與EC交于點(diǎn)M．若，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)稱軸坐標(biāo)公式可求二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí),,可求點(diǎn)C的坐標(biāo)為,根據(jù)三角形面積公式可求,進(jìn)一步得到A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，再用待定系數(shù)法即可求二次函數(shù)的解析式；

(2)作軸于點(diǎn)F.分兩種情況:(ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的下方時(shí);(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的上方時(shí),延長(zhǎng)至點(diǎn)G使得,連接DG,作軸于點(diǎn)H,兩種情況討論可求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)連接,交CE于T.連接,根據(jù)三角函數(shù)的整數(shù)可得,同理,得到,從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo).

（1）當(dāng)x = 0時(shí)，，∴ ,

∵ ，∴ AB = 6,

又∵ 二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是直線，

∴ ，,

∴ ，解得,

∴ 二次函數(shù)的解析式為,

（2）如圖,作軸于點(diǎn)F.分兩種情況:

(ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的下方時(shí),如圖所示,

由(1)得點(diǎn),點(diǎn),

∴DF=1，AF=2，

在Rt△ADF中，,,得.

延長(zhǎng)DF與拋物線交于點(diǎn),則點(diǎn)即為所求.

將x=-2代入拋物線解析式，得y=-4，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的上方時(shí),延長(zhǎng)至點(diǎn)G使得,連接DG,作軸于點(diǎn)H,如圖所示，在與中，

∴≌（AAS）.

,

又,

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是

在中, ，，

設(shè)DG與拋物線的交點(diǎn)為,則點(diǎn)為所求.

作于點(diǎn)K,作交DK于點(diǎn)S.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,

則,

.

由，,,得.

整理,得

解得.

點(diǎn)在第二象限,橫坐標(biāo)為負(fù)，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

綜上,P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或.

（3）如圖，聯(lián)結(jié)，交EC于點(diǎn)T，聯(lián)結(jié)．

∵ 點(diǎn)O與點(diǎn)關(guān)于EC所在直線對(duì)稱，

∴ ⊥EC，，．

∴ ⊥

又∵ ON⊥，∴ ∥ON．

∴ ．

∴ OC = OM

∴ CT = MT

在Rt△ETO中，∠ETO = 90°，．

在Rt△COE中，∠COE = 90°，．

∴

∴

同理可得

∴

∵ ，∴ OE = 8

∵ 點(diǎn)E在x軸的正半軸上

∴ 點(diǎn)E的坐標(biāo)為．