Question

已知，如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是AC邊上的中線，AH⊥BD于H，與BC交于點E，F(xiàn)C⊥AC交AE的延長線于F．
（1）求證：BD=AF．
（2）連接DF，求證：EC垂直平分DF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）易證∠CAF=∠ABD，即可證明△ACF≌△BAD，可得BD=AF；
（2）根據(jù)△ACF≌△BAD可得CF=AD，即可證明△CDF是等腰三角形，易證CE平分∠ACF，即可解題．

解答：證明：（1）∵∠CAF+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABD=90°，
∴∠CAF=∠ABD，
∵在△ACF和△BAD中，

∠CAF=∠ABD AB=AC ∠BAD=∠ACF=90°

，
∴△ACF≌△BAD，（ASA）
∴BD=AF；
（2）∵△ACF≌△BAD，
∴CF=AD，
∵BD是AC邊上的中線，
∴CF=AD=CD，
∴△CDF是等腰三角形，
∵∠ACB=45°，
∴∠ECF=45°，
∴CE平分∠ACF，
∴EC垂直平分DF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ACF≌△BAD是解題的關(guān)鍵．