Question

【題目】如圖，拋物線與y軸交于A點，過點A的直線與拋物線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C(3，0).

（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

（2）動點P在線段OC上從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N. 設(shè)點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點P與點O，點C重合的情況），連接CM，BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2） （0≤t≤3）；（3）t=1或2時；四邊形BCMN為平行四邊形；t=1時，平行四邊形BCMN是菱形，t=2時，平行四邊形BCMN不是菱形，理由見解析.

【解析】

（1）由A、B在拋物線上，可求出A、B點的坐標，從而用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)關(guān)系式．

（2）用t表示P、M、N 的坐標，由等式得到函數(shù)關(guān)系式．

（3）由平行四邊形對邊相等的性質(zhì)得到等式，求出t．再討論鄰邊是否相等．

解：（1）x=0時，y=1，

∴點A的坐標為：（0，1），

∵BC⊥x軸，垂足為點C（3，0），

∴點B的橫坐標為3，

當x=3時，y=，

∴點B的坐標為（3，），

設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b， ，

解得，，

則直線AB的函數(shù)關(guān)系式

（2）當x=t時，y=t+1，

∴點M的坐標為（t，t+1），

當x=t時，

∴點N的坐標為

（0≤t≤3）；

（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，
∴，

解得t1=1，t2=2，

∴當t=1或2時，四邊形BCMN為平行四邊形，
①當t=1時，MP=，PC=2，

∴MC==MN，此時四邊形BCMN為菱形，

②當t=2時，MP=2，PC=1，

∴MC=≠MN，此時四邊形BCMN不是菱形．