Question

在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，將△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C₁OD₁，旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），連接AC₁、BD₁，AC₁與BD₁交于點P.

（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形.

①求證：△AOC₁≌△BOD₁.

②請直接寫出AC₁ 與BD₁的位置關系.

（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，設AC₁=k BD₁.

判斷AC₁與BD₁的位置關系，說明理由，并求出k的值.

（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，AC=5，BD=10，連接DD₁，設AC₁=kBD₁.

請直接寫出k的值和              的值.

 

Answer 1

解：

（1）①證明：

∵四邊形ABCD是正方形

∴ＡＣ＝ＢＤ，OC＝OA=ＡＣ，ＯＤ＝OB=ＢＤ

∴OC=OA=ＯＤ＝OB，

∵△C₁OD₁由△COD繞點O旋轉得到

∴O C₁= OC，O D₁=OD，∠CO C₁=∠DO D₁

∴O C₁= O D₁       ∠AO C₁=∠BO D₁

∴△AO C₁≌△BOD₁

②ＡC₁⊥BD₁

（2）ＡC₁⊥BD₁

理由如下：∵四邊形ABCD是菱形

∴OC＝OA=ＡＣ，ＯＤ＝OB=ＢＤ，AC⊥BD

∵△C₁OD₁由△COD繞點O旋轉得到

∴O C₁= OC，O D₁=OD，∠CO C₁=∠DO D₁

∴O C₁＝OA ，O D₁＝OB，∠AO C₁=∠BO D₁

∴

∴

            ∴△AO C₁∽△BOD₁

        ∴∠O AC₁= ∠OB D₁

又∵∠AOB=90°

∴∠O AB+∠ABP+∠OB D₁=90°

∴∠O AB+∠ABP+∠O AC₁=90°

∴∠APB=90°

ＡC₁⊥BD₁

∵△AO C₁∽△BOD₁

∴

∴

（3）