Question

已知一個四邊形的四邊都相等，它的一條對角線長2，一個內(nèi)角是60°，現(xiàn)分別以這個四邊形的兩條對角線所在的直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，求這個四邊形各個頂點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：先根據(jù)菱形的判定得到四邊形ABCD為菱形，畫出直角坐標(biāo)系，然后分類討論：當(dāng)AC=2，∠ABC=60°時；當(dāng)BD=2，∠ABC=60°時；當(dāng)AC=2，∠BAD=60°時；當(dāng)BD=2，∠BAD=60°時，利用菱形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出各種情況下的OA、OB、OC、OD的長，再根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征寫出菱形四個頂點的坐標(biāo)．

解答：解：因為四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，所以四邊形ABCD為菱形，
以AC和BD所在的直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，
當(dāng)AC=2，∠ABC=60°時，則OA=OC=1，
∠ABO=

1

2

∠ABC=30°，則OB=

3

OA=

3

，
所以A（-1，0），B（0，-

3

），C（1，0），D（0，

3

），
當(dāng)BD=2，∠ABC=60°時，則OB=OD=1，
∠ABO=

1

2

∠ABC=30°，則OA=

3

3

OB=

3

3

，
所以A（-

3

3

，0），B（0，-1），C（

3

3

，0），D（0，1），
當(dāng)AC=2，∠BAD=60°時，則OA=OC=1，
∠DAO=

1

2

∠DAB=30°，則OD=

3

3

OA=

3

3

，
所以A（-1，0），B（0，-

3

3

），C（1，0），D（0，

3

3

），
當(dāng)BD=2，∠BAD=60°時，則OB=OD=1，
∠DAO=

1

2

∠DAB=30°，則OA=

3

OD=

3

，
所以A（-

3

，0），B（0，-1），C（

3

，0），D（0，1）．

點評：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點的坐標(biāo)求線段的長和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系．也考查了菱形的性質(zhì)．