Question

【題目】如圖1，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為_____；

（2）當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，求t的值；

（3）當(dāng)t=1時(shí)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)P，Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，拋物線的頂點(diǎn)為K，如圖2所示，問(wèn)該拋物線上是否存在點(diǎn)D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有滿足條件的D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）(，2)；（2）或；（3）存在；D(﹣，)或(，)．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度找出當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出此時(shí)線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度找出運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PA，QA，QB，CB的值，由∠B＝∠A＝90°，可得出當(dāng)或時(shí)，△CBQ與△PAQ相似，代入各線段的值即可求出t值；

（3）當(dāng)t=1時(shí)，先求出P，Q的坐標(biāo)，然后求出拋物線的解析式，配方求出頂點(diǎn)K的坐標(biāo)．分兩種情況討論，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出HQ、OQ的解析式，再和拋物線解析式聯(lián)立解方程組即可得出結(jié)論．

（1）當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，4），∴線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（），即（，2）．

故答案為：（，2）．

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤3）秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2t），∴PA＝3﹣t，QA＝2t，QB＝6﹣2t，CB＝3．

∵∠B＝∠A＝90°，∴當(dāng)或時(shí)，△CBQ與△PAQ相似．

①當(dāng)時(shí)，，解得：t1，t2（不合題意，舍去）；

②當(dāng)時(shí)，，解得：t或t=3（舍去）．

綜上所述：t的值為或．

（3）當(dāng)t=1時(shí)，P（1，0），Q（3，2），把P（1，0），Q（3，2）代入拋物線y=x2+bx+c中得：，解得：，∴拋物線：y=x2﹣3x+2=，∴頂點(diǎn)K（，）．

∵Q（3，2），M（0，2），∴MQ∥x軸．

作拋物線對(duì)稱軸，交MQ于E，∴KM=KQ，KE⊥MQ，∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ．

如圖2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE，設(shè)DQ交y軸于H．

∵∠HMQ=∠QEK=90°，∴△KEQ∽△QMH，∴，∴，∴MH=2，∴H（0，4），易得HQ的解析式為：，則，x2﹣3x+2=，解得：x1=3（舍），x2=，∴D（，）；

同理，在M的下方，y軸上存在點(diǎn)H，如圖3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE．

由對(duì)稱性得：H（0，0），易得OQ的解析式：，則，x2﹣3x+2=，解得：x1=3（舍），x2=，∴D（，）．

綜上所述：點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D（，）或（，）．