如圖,已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm,BC=6cm,某一時(shí)刻,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng).
(1)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間,△AMN的面積等于矩形ABCD面積的
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(2)是否存在時(shí)刻t,使A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,可設(shè)時(shí)間為x,根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長(zhǎng)度,找到相等關(guān)系,列方程求解即可,如本題中利用,△AMN的面積等于矩形ABCD面積的
1
9
作為相等關(guān)系;
(2)先假設(shè)相似,利用相似中的比例線段列出方程,有解的且符合題意的t值即可說(shuō)明存在,反之則不存在.
解答:解:(1)設(shè)經(jīng)過(guò)x秒,△AMN的面積等于矩形ABCD面積的
1
9

由題意得DN=2x,AN=6-2x,AM=x,
∵矩形ABCD中AB=3,BC=6,
∴AD=BC=6,CD=AB=3,
矩形ABCD的面積為:AB•AD=3×6=18,
△AMN的面積=
1
2
AN•AM=
1
2
•x(6-2x)=3x-x2
=
1
9
×18,
可得方程x2-3x+2=0,
解得x1=1,x2=2,
答:經(jīng)過(guò)1秒或2秒,△AMN的面積等于矩形ABCD面積的
1
9
;

(2)由題意得DN=2t,AN=6-2t,AM=t,
若△NMA∽△ACD,
則有
AD
AN
=
CD
AM
,即
6
6-2x
=
3
x
,
解得x=1.5,
若△MNA∽△ACD
則有
AD
AM
=
CD
AN
,即
6
x
=
3
6-2x
,
解得x=2.4,
答:當(dāng)t=1.5秒或2.4秒時(shí),以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似.
點(diǎn)評(píng):此題考查了相似三角形的判定,正方形的性質(zhì)和一元二次方程的運(yùn)用以及解分式方程.要掌握正方形和相似三角形的性質(zhì),才會(huì)靈活的運(yùn)用.注意:一般關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,可設(shè)時(shí)間為x,根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長(zhǎng)度,找到相等關(guān)系,列方程求解即可.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知矩形DEFG內(nèi)接于Rt△ABC,D在AB上,E、F在BC上,G在AC上,∠BAC=90°,AB=6cm,AC=8cm,S矩形DEFG=
454
,則矩形的邊長(zhǎng)DG=
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點(diǎn)M沿AB方向從A向B以2cm/秒的速度移動(dòng),點(diǎn)N從D沿DA方向以1c精英家教網(wǎng)m/秒的速度移動(dòng),如果M、N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),移動(dòng)的時(shí)間為x秒(0≤x≤6).
(1)當(dāng)x為何值時(shí),△MAN為等腰直角三角形?
(2)當(dāng)x為何值時(shí),有△MAN∽△ABC?
(3)愛(ài)動(dòng)腦筋的小紅同學(xué)在完成了以上聯(lián)系后,對(duì)該問(wèn)題作了深入的研究,她認(rèn)為:在M、N的移動(dòng)過(guò)程中(N不與D、A重合,M不與A、B重合),以A、M、C、N為頂點(diǎn)的四邊形面積是一個(gè)常數(shù).她的這種想法對(duì)嗎?請(qǐng)說(shuō)出理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)AB是480毫米.一質(zhì)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā),沿BA方向,以每秒鐘10毫米的速度向精英家教網(wǎng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).
(1)建立合適的直角坐標(biāo)系,用運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)表示點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)D在三角形ABC的內(nèi)部作一個(gè)矩形DEFG,其中EF在BC邊上,G在AC邊上.在圖中找出點(diǎn)D,使矩形DEFG是正方形(要求所表達(dá)的方式能體現(xiàn)出找點(diǎn)D的過(guò)程);
(3)過(guò)點(diǎn)D、B、C作平行四邊形,當(dāng)t為何值時(shí),由點(diǎn)C、B、D、F組成的平行四邊形的面積等于三角形ADC的面積,并求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•寧德質(zhì)檢)如圖,已知Rt△ABC,∠B=90°,AB=8,BC=6,把斜邊AC平均分成n段,以每段為對(duì)角線作邊與AB、BC平行的小矩形,則這些小矩形的面積和是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知矩形ABCD中AB:BC=3:1,點(diǎn)A、B在x軸上,直線y=mx+n(0<m<n<
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),過(guò)點(diǎn)A、C交y軸于點(diǎn)E,S△AOE=
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S矩形ABCD,拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A、B,且頂點(diǎn)G在直線y=mx+n上,拋物線與y軸交于點(diǎn)F.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為
(-3n,0)
(-3n,0)
;B的坐標(biāo)
(-n,0)
(-n,0)
(用n表示);
(2)abc=
-
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-
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