Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠ABC的角平分線交AC于N，NM∥BC，NH⊥BC于H，P在直線MN上，過(guò)點(diǎn)P作邊AB、AC的垂線分別為E、F．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí)，判斷PE、PF、NH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段MN的延長(zhǎng)線上時(shí)，則PE、PF、NH之間的數(shù)量關(guān)系為

 

（3）如圖3，在（2）條件下，當(dāng)∠A=36°，PE=6，△APN的面積等于△NBC的面積時(shí)，求PF的長(zhǎng)？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：解題思想

分析：（1）PE+PF=NH，過(guò)點(diǎn)N作DN⊥AB，垂足為D，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥DN，垂足為G，則四邊形EPGD是矩形，得到PE=DG，然后證明△PGN≌△NFP（AAS），得到PF=GN，由角平分線的性質(zhì)，得到DN=NH，從而得到結(jié)論：PE+PF=NH．
（2）PE=PF+NH，基本思路同（1）．
（3）由（2）可知∠4=∠5=∠6，∵∠A=36°，AB=AC，可得AN=BN=BC，由△APN的面積等于△NBC的面積，可得AN•PF=BC•NH，∴PF=NH，進(jìn)而得到PF=3．

解答：（1）PE+PF=NH，
證明：過(guò)點(diǎn)N作DN⊥AB，垂足為D，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥DN，垂足為G，
則四邊形EPGD是矩形，
∴PE=DG，
∵PG⊥DN，BD⊥DN，
∴PG∥DM，
∴∠AMN=∠GPN，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠C，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠GPN=∠FNP．
∵∠PGN=∠NFP=90°，PN=PN，
∴△PGN≌△NFP（AAS），
∴PF=GN，
∴EP+FP=DG+GN=DN，
∵BN平分∠ABC，ND⊥AB，NH⊥BC，
∴DN=NH，
即：PE+PF=NH．
（2）PE=PF+NH，
理由如下：
過(guò)點(diǎn)N分別作ND⊥AB，垂足為D，NG⊥EP，垂足為G，
則四邊形DNGE是矩形，
∴DN=EG，DN∥EP，
∴∠1=∠3，
∵BN平分∠ABC，MN∥BC，
∴∠5=∠6=∠4，
∴BM=MN，
∵BM=NC，
∴MN=NC，
∵DN=NH，
∴Rt△MND≌Rt△CNH（HL），
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵M(jìn)N∥BC，NH⊥BC，
∴NH⊥MN，
∴∠2+∠7=90°
∵∠3+∠GNP=90°，
∴∠7=∠GNP，
∵∠NGP=∠NFP=90°，NP=NP，
∴△PGN≌△PFN（AAS），
∴PF=PG，
∵DN=NH，
∴PF+NH=PG+DN=PG+EG=EP，
即：EP=PF+NH．
（3）解：由（2）可知∠4=∠5=∠6，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠4=∠5=∠6=∠A=36°，∠C=∠BNC=72°，
∴AN=BN=BC，
∵△APN的面積等于△NBC的面積，
∴AN•PF=BC•NH，
∴PF=NH，
∵EP=PF+NH，PE=6，
∴PF=3．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解決的此題基本思想是“截長(zhǎng)法”，證明兩條短線段之和等于長(zhǎng)線段．