Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A 是一次函數(shù) y 3x 20 與 y x 12的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A 分別作 x 、 y 軸的垂線段，垂足分別是 B 和C ，動(dòng)點(diǎn) P 和Q 以1個(gè)單位/秒的速度，分別從點(diǎn)C 、 B 出發(fā)，沿線段CA 、 BO 方向，向終點(diǎn) A 、O 運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）證明：無(wú)論運(yùn)動(dòng)時(shí)間t 0 t 8取何值，四邊形OPAQ 始終為平行四邊形；

（2）當(dāng)四邊形OPAQ 為菱形時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí) PQ 的長(zhǎng)度及直線 PQ 的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng)OP 滿足 2 OP 5時(shí)，連接 PQ ，直線 PQ 與 y 軸交于點(diǎn) M ，取線段 AC 的中點(diǎn) N ，試確定 MNP 的面積 S 與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S 的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），y=－2x+10；（3）S=t（2≤t≤3），2≤S≤3．

【解析】

（1）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷即可；

（2）過(guò)P作PH⊥x軸于H，則CP=OH，PH=CO．解方程組求出A的坐標(biāo)，由菱形的性質(zhì)以及勾股定理求得t的值，進(jìn)而得到OQ、OH，HQ的長(zhǎng)．利用勾股定理即可求出PQ的長(zhǎng)，利用待定系數(shù)法可得到直線PQ的解析式．

（3）分別計(jì)算出當(dāng)OP=和OP=5時(shí)，對(duì)應(yīng)的t的值，即可得出t的取值范圍．

再利用相似三角形的判定與性質(zhì)表示出MC，然后利用三角形面積公式即可得出結(jié)論．

（1）∵0 t 8，∴CP=QB=t．

∵CA=OB，∴PA=OQ．

∵PA∥OQ，∴四邊形OPAQ為平行四邊形．

（2）過(guò)P作PH⊥x軸于H，則CP=OH，PH=CO．

解方程組得：，∴A（8，4），∴CO=BA=4，OB=CA=8．

∵四邊形OPAQ 為菱形，∴OP=PA=OQ=8-t．在Rt△CPO中，∵OC2+CP2=OP2，∴，解得：t=3，∴OQ=8-t=5，OH=CP=3，∴HQ=OQ-OH=5-3=2．

∵PH=CO=4，∴PQ===．

∵CP=3，OQ=5，∴P（3，4），Q（5，0）．設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，∴，解得：，∴．設(shè)直線PQ的解析式為y=－2x+10．

（3）當(dāng)OP=時(shí)，CP==2，∴t=2；

當(dāng)OP=5時(shí)，CP==3，∴t=3；∴2≤t≤3．

∵CP∥OQ，∴△MCP∽△MOQ，∴，∴，解得：MC=．

∵CA=8，∴CN=4，∴PN=4－t，∴△MNP的面積S=PNCM==t，∴S=t（2≤t≤3），∴2≤S≤3．