Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為1，圓心A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2）．直線OM是一次函數(shù)y=x的圖像．讓⊙A沿y軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t．

（1）填空

①直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)為 °；

②當(dāng)t= 時(shí)，⊙A與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（2）當(dāng)t＞3時(shí)，求出運(yùn)動(dòng)過程中⊙A與直線OM相切時(shí)的t的值；

（3）運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)⊙A與直線OM相交所得的弦長(zhǎng)為1時(shí)，求t的值．

Answer 1

（1）①45°；②t＝1或2或3時(shí)⊙A與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）t＝；（3）t＝或t＝.

【解析】

試題解析：【解析】
（1）①直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)是45°；

②當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，－1）時(shí)⊙A與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)t＝1；

當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0）時(shí)⊙A與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)t＝2；

當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，1）時(shí)⊙A與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)t＝3；

所以t＝1或2或3時(shí)⊙A與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）如下圖所示，當(dāng)t＝3時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，1），

⊙A與直線OM相交，

所以當(dāng)t＞3時(shí)，⊙A在直線OM上方，

如果⊙A相切，

則AB＝1，

因?yàn)橹本�OM與x軸的夾角是45°，

所以∠ACB＝45°，

點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，1），

所以BC＝1，

則有AC＝＝，

所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t＝；

（3）如下圖所示，當(dāng)點(diǎn)A在x軸下方時(shí)，

過點(diǎn)A作AB⊥y軸于B，AC⊥OM于C，交x軸于點(diǎn)Q，AH⊥x軸于點(diǎn)H，

⊙A與直線OM交于E、F，

則AB＝OH＝1，AE＝AF＝1，OB＝AH＝2－t，

∵EF＝1，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AC＝AE＝，

∵直線OM與x軸的夾角是45°，

∴△OCQ與△AHQ都是等腰直角三角形，

∴HQ＝AH＝2－t，

∴OQ＝OH－HQ＝t－1，AQ＝ ，

∴CQ＝OQ＝，

∵AC＝CQ＋AQ，

∴，

∴t＝ ；

當(dāng)點(diǎn)A在x軸上方時(shí)，如下圖所示，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于B，AC⊥OM于C，

過點(diǎn)A作 AH⊥x軸于點(diǎn)H，交直線OM于點(diǎn)Q，

⊙A與直線OM交于E、F，

則AB＝OH＝1，AE＝AF＝1，OB＝AH＝2－t，

∵EF＝1，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AC＝，

∵直線OM與x軸的夾角是45°，

∴△OCQ與△AHQ都是等腰直角三角形，

∴HQ＝OH＝1，

AQ＝AC＝＝，

∵AH＝HQ＋AQ，

∴，

∴t＝

∴t＝或t＝.

考點(diǎn)：圓的綜合題

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，本題難度較大綜合性較強(qiáng)，在解決本題時(shí)應(yīng)注意分類討論.