Question

【題目】問題情填，

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖1，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△ACD、并且量得AB＝2cm，AC＝4cm.

操作發(fā)現(xiàn)：

(1)將圖1中的△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠α，使∠α＝∠BAC，得到加圖2所示的△AC′D，過點(diǎn)C作AC′的平行線，與DC′的延長線交于點(diǎn)E，則四邊形ACEC'的形狀是_________；

(2)創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使B，A，D三點(diǎn)在同一條直線上，得到如圖3所示的△AC′D，連接CC′，取CC'的中點(diǎn)F，連精AF并延長到點(diǎn)G，使FG＝AF，連接CG，C′G，得到四邊形ACGC′，發(fā)現(xiàn)它是正方形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.

實(shí)踐探究：

(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，進(jìn)行如下操作：將△ABC沿著BD方向平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，此時(shí)A點(diǎn)平移至A′點(diǎn)，A′C與BC′相交于點(diǎn)H.如圖4所示，連接CC'，試求CH的長度.

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）在圖一中，利用矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得出∠ACD＝∠BAC，在圖2中，由旋轉(zhuǎn)知AC＝AC'，∠AC'D＝∠ACD，可得∠CAC'＝∠AC'D，可得AC∥C'E，證得四邊形ACEC'是平行四邊形，又AC＝AC'，證得ACEC'是菱形

（2）在圖1和圖3中，根據(jù)矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明∠BAC+∠DAC'＝90°，根據(jù)中點(diǎn)可得CF＝C'F，AF＝FG，可得到四邊形ACGC'是平行四邊形，又因?yàn)?/span>AG⊥CC'，證得ACGC'是菱形，由∠CAC'＝90°，故證得菱形ACGC'是正方形；

（3）在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，可求得sin∠ACB=，由（2）結(jié)合平移知，∠CHC’=90°，再利用解直角三角形求出BH=BC·sin30°=，進(jìn)而求得C’H=BC’-BC=4-，CH=AC-AH=4-1=3，最后在Rt△CHC’中，利用銳角三角函數(shù)的定義求得tan∠C’CH==.

解：（1）在如圖1中，

∵AC是矩形ABCD的對(duì)角線，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，

在如圖2中，由旋轉(zhuǎn)知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD，

∴∠BAC＝∠AC'D，

∵∠CAC'＝∠BAC，

∴∠CAC'＝∠AC'D，

∴AC∥C'E，

∵AC'∥CE，

∴四邊形ACEC'是平行四邊形，

∵AC＝AC'，

∴ACEC'是菱形，

故答案為：菱形；

（2）在圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°

在圖3中，由旋轉(zhuǎn)知，∠DAC'＝∠DAC，

∴∠ACB＝∠DAC'，

∴∠BAC+∠DAC'＝90°，

∵點(diǎn)D，A，B在同一條直線上，

∴∠CAC'＝90°，

由旋轉(zhuǎn)知，AC＝AC'，

∵點(diǎn)F是CC'的中點(diǎn)，

∴AG⊥CC'，CF＝C'F，

∵AF＝FG，

∴四邊形ACGC'是平行四邊形，

∵AG⊥CC'，

∴ACGC'是菱形，

∵∠CAC'＝90°，

∴菱形ACGC'是正方形；

（3）在Rt△ABC中，AB=2，AC=4

∴BC’=AC=4，BD=BC=2，sin∠ACB=

∴∠ACB=30°

由（2）結(jié)合平移知，∠CHC’=90°

在Rt△BCH中，∠ACB=30°

∴BH=BC·sin30°=

∴C’H=BC’-BC=4-

在Rt△ABH中，AH=AB=1

∴CH=AC-AH=4-1=3

在Rt△CHC’中，tan∠C’CH==