Question

（1）如圖（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，
∠A=40°，求∠BOC的度數(shù)．
（2）如圖（2），△DEF兩個(gè)外角的平分線相交于點(diǎn)G，∠D=40°，
求∠EGF的度數(shù)．
（3）由（1）、（2）可以發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠EGF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？設(shè)∠A=∠D=n°，∠BOC與∠EGF是否還具有這樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

Answer 1

解：（1）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．
∵BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×140°=70°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°；

（2）設(shè)△ABC的兩個(gè)外角為α、β．
則∠G=180°-（α+β）（三角形的內(nèi)角和定理），
利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．可知
α+β=∠D+∠DFE+∠D+∠DEF=180°+40°=220°，
∴∠G=180°-（α+β）=70°；

（3）∠A=∠D=n°，∠BOC與∠EGF互補(bǔ)．
證明：當(dāng)∠A=n°時(shí)，∠BOC=180°-[（180°-n°）÷2]=90°+，
∵∠D=n°，∠EGF=180°-[360°-（180°-n°）]÷2=90°-，
∴∠A+∠D=90°++90°-=180°，
∴∠BOC與∠EGF互補(bǔ)．
分析：（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)BO、CO分別平分∠ABC與∠ACB求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BOC的度數(shù)．
（2）利用三角形的內(nèi)角和以及外角和性質(zhì)即可進(jìn)行解答；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義，（3）由前兩問(wèn)提供的思路，進(jìn)一步推理．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．